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invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 16h08

Bonjour ,on considère une fonction $f\in C_c^{\infty}(R^d)$
Si on suppose que la limite quand $m$ tend vers l'infini de $||f(\frac{x}{m})u_{n}||_{L^2(R^n)}$ est nulle pour tout $n$ .Peut on trouver une sous suite de $u_n$ qui converge dans $L^2(R^n)$ ?
Merci

invite23cdddab · 23/05/2016, 16h48

Je vais supposer que tes $u_n$ sont dans $L^2$ ...

Alors $|f(x/m) u_n(x)|^2 \leq M |u_n(x)|^2$ qui est intégrable. De plus, $|f(x/m) u_n(x)|^2 \to |f(0)|^2 |u_n(x)|^2$ simplement presque partout.

On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée :

$0 = \lim_{m\to \infty} \int |f(x/m)u_n(x)|^2 dx = \int \lim_{m\to \infty} |f(x/m)u_n(x)|^2 dx = |f(0)|^2 ||u_n||^2$

Donc si $f(0) \neq 0$ , on a nécessairement la suite $u_n$ identiquement nulle.

Mais si $f(0) = 0$ , alors on ne peut rien dire, et il n'y a généralement pas convergence (vu que quelque soit la suite $(u_n)\in L^2, ||f(x/m)u_n|| \to 0$ )

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 17h11

Bonjour Tryss voici le probleme que je suis en train de resoudre:
Dans un exercice on considère un opérateur
$A=A_V=-\Delta+\frac{1}{4}|\nabla V|^2-\frac{1}{2}\Delta V$ (où $V$ est un polynome) avec domaine $D(A)=C_c^{\infty}(R^n)$ .

$A$ est un operateur positif On suppose que $A$ vérifie:

$||g(x)u||^2\le ||u||^2+<u,Au>$ $\forall u\in D(A)$ où $g$ est une fonction dans $C^{\infty}(R^n)$ qui tend vers $+\infty$ quand $|x|$ tend vers $+\infty$

On veut montrer que $A$ est à résolvante compacte.

Pour cela on suppose qu'il n'est pas à résolvante compacte .
Donc il existe une suite $u_n\in C_c^{\infty}(R^n)$ tel que :

1) $u_n$ converge faiblement vers $0$ dans $L^2(\mathbb R^n)$
2) $||u_n||_{L^2(R^n)}=1$
3) $||Au_n||_{L^2(R^n)}\le c=$ constante

on considère une partition de l'unité $f_1(x)^2+f_2(x)^2=1$ avec
pour $j=1,2$ on a :
1) $f_j=1$ sur $B(0,1)$
2) $\mathrm{supp\,} f_j\subset B(0,2)$
3) $f_j\in C^{\infty}(\mathbb R^n)$

On a donc pour tout $m\in N*$ :

$f_1(\frac{x}{m})^2+f_2(\frac{x}{m})^2=1$

*)D'une part on a;
$<u_n,Au_n> \le<u_n,(A+1)u_n> ||u_n||.||(A+1)u_n||\le c$

**)Et d'autre part on a :
$Au_n=\sum_{j=1}^{2}f_j( \frac{x}{m})Af_j( \frac{x}{m}) u_n -\sum_{j=1}^{2}|\partial_xf_j( \frac{x}{m})|^2u_n$

$<u_n,Au_n>\ge <f_2(\frac{x}{m})u_n,Af_2(\frac{x}{m})u_n>-\sum_{j=1}^{2}<|\partial_xf_j(\frac{x}{m})|^2u_n,u_n>$
$\ge ||g(x)f_2(\frac{x}{m})u_n||^2- ||f_2(\frac{x}{m})u||^2-\sum_{j=1}^{2}<|\partial_xf_j(\frac{x}{m})|^2u_n,u_n><br />$
On $||\partial_xf_j(\frac{x}{m})|u_{n}||_{L^2(R^n)}\le c_1||u_n||=c_1$ car $f_j$ est bornée.

Ainsi $c \le ( inf _{B(0,2m)}g(x)-1)||f_2( \frac{x}{m})u_{n}||_{L^2(R^n)}<br />$
On a limite quand $m$ tend vers l'infini de $inf _{B(0,2m)}g(x)-1=+\infty$ (Par hypothèse sur $g$ )

Donc limite quand $m$ tend vers l'infini de $||f_2(\frac{x}{m})u_{n}||_{L^2(R^n)}$ est nulle.

Ici j'ai besoin de votre aide pour montrer qu'à l'aide d'un procédé diagonale on peut extraire une sous suite de $u_n$ convergente (donc cette sous suite converge vers $0$ car $u_n$ converge faiblement vers $0$ ) et on obtient une contradiction avec le fait que $||u_n||=1$

Pouvez vous m'aidez?Merci.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 17h36

Bonjour Tryss voici le probleme que je suis en train de resoudre:
Dans un exercice on considère un opérateur
$A=A_V=-\Delta+\frac{1}{4}|\nabla V|^2-\frac{1}{2}\Delta V$ (où $V$ est un polynome) avec domaine $D(A)=C_c^{\infty}(R^n)$ .

$A$ est un operateur positif On suppose que $A$ vérifie:

$||g(x)u||^2\le ||u||^2+<u,Au>$ $\forall u\in D(A)$ où $g$ est une fonction dans $C^{\infty}(R^n)$ qui tend vers $+\infty$ quand $|x|$ tend vers $+\infty$

On veut montrer que $A$ est à résolvante compacte.

Pour cela on suppose qu'il n'est pas à résolvante compacte .
Donc il existe une suite $u_n\in C_c^{\infty}(R^n)$ tel que :

1) $u_n$ converge faiblement vers $0$ dans $L^2(\mathbb R^n)$
2) $||u_n||_{L^2(R^n)}=1$
3) $||(A+1)u_n||_{L^2(R^n)}\le c=$ constante

on considère une partition de l'unité $f_1(x)^2+f_2(x)^2=1$ avec
pour $j=1,2$ on a :
1) $f_j=1$ sur $B(0,1)$
2) $\mathrm{supp\,} f_j\subset B(0,2)$
3) $f_j\in C^{\infty}(\mathbb R^n)$

On a donc pour tout $m\in N*$ :

$f_1(\frac{x}{m})^2+f_2(\frac{x}{m})^2=1$

*)D'une part on a;
$<u_n,Au_n> \le<u_n,(A+1)u_n> ||u_n||.||(A+1)u_n||\le c$

**)Et d'autre part on a :
$Au_n=\sum_{j=1}^{2}f_j( \frac{x}{m})Af_j( \frac{x}{m}) u_n -\sum_{j=1}^{2}|\partial_xf_j( \frac{x}{m})|^2u_n$

$<u_n,Au_n>\ge <f_2(\frac{x}{m})u_n,Af_2(\frac{x}{m})u_n>-\sum_{j=1}^{2}<|\partial_xf_j(\frac{x}{m})|^2u_n,u_n>$
$\ge ||g(x)f_2(\frac{x}{m})u_n||^2- ||f_2(\frac{x}{m})u||^2-\sum_{j=1}^{2}<|\partial_xf_j(\frac{x}{m})|^2u_n,u_n><br />$
On $|||\partial_xf_j(\frac{x}{m})|u_{n}||_{L^2(R^n)}\le c_1||u_n||=c_1$ car $f_j$ est bornée.

Ainsi $c \ge ( inf _{B(0,2m)}g(x)-1)||f_2( \frac{x}{m})u_{n}||_{L^2(R^n)}<br />$
On a limite quand $m$ tend vers l'infini de $inf _{B(0,2m)}g(x)-1=+\infty$ (Par hypothèse sur $g$ )

Donc limite quand $m$ tend vers l'infini de $||f_2(\frac{x}{m})u_{n}||_{L^2(R^n)}$ est nulle.

Ici j'ai besoin de votre aide pour montrer qu'à l'aide d'un procédé diagonale on peut extraire une sous suite de $u_n$ convergente (donc cette sous suite converge vers $0$ car $u_n$ converge faiblement vers $0$ ) et on obtient une contradiction avec le fait que $||u_n||=1$

Pouvez vous m'aidez?Merci.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 23/05/2016, 19h28

Bonjour,

Ce fil a -t-il un lien avec l'autre fil qui s'intitule : procédé diagonal ?

Cordialement.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 19h37

oui il y a une difference ici on a limite quand $m$ tend vers l'infini de $||f_mu_n||$ est nulle pour tout $n$ et je veux montrer qu'à l'aide d'un procédé diagonal on peut extraire de $u_n$ une suite convergente .

invitecbade190 · 23/05/2016, 19h56

amine1234 :

Peux tu insérer une copie de ta série TD où est extrait cet exo ? Tu insères tout l'exo ...

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 20h02

C'est une Proposition donnée dans le cours.
voici la proposition:
on considère l'opérateur
$A=A_V=-\Delta+\frac{1}{4}|\nabla V|^2-\frac{1}{2}\Delta V$ (où $V$ est un polynome) avec domaine $D(A)=C_c^{\infty}(R^n)$ .

$A$ est un operateur positif
On suppose que $A$ vérifie:

$||g(x)u||^2\le ||u||^2+<u,Au>$ $\forall u\in D(A)$ où $g$ est une fonction dans $C^{\infty}(R^n)$ qui tend vers $+\infty$ quand $|x|$ tend vers $+\infty$

Alors $A$ est à résolvante compacte.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 22h16

on pose $x^m_n=f_mu_n$ . on a pour $m$ fixé $\frac{c}{inf_B(0,1) g(x)-1)\ge ||x^m_n||$ donc pour $m$ fixé $||x^m_n||$ est bornée
on a $||x^1_n||$ est bornée donc il existe $h_1$ une extraction tel que $||x^1_{h_1(n)}||$ converge
$||x^2_{h_1(n)}||$ est bornée donc il existe $h_2$ une extraction tel que $||x^2_{h_1°h_2(n)}||$ converge
on a ainsi $||x^1_{h_1°h_2(n)}||$ et $||x^2_{h_1°h_2(n)}||$ converge .
on trouve donc une extraction $h$ tel que $\forall m\in N$ $||x^m_{h(n)}||$ converge .
ce que j'ai écrit est juste ou faux?

invitecbade190 · 23/05/2016, 22h22

$||f( \dfrac{x}{m} ) u_n ||$ converge vers $0$ pour tout $n$ , donc, toute sous suite d'une suite convergente vers $a$ converge vers $a$ , pour tout $n$ , on fixe : $n=0$ , alors : $|| f(\frac{x}{m} ) u_0 ||$ converge vers $0$ , on extrait une première sous suite $|| f_{m_{1k}} u_0 ||$ qui converge vers $0$ , on fait la même chose pour $|| f_{m_{1k}} u_1 ||$ qui converge vers $0$ , donc admet une sous suite $|| f_{m_{2k}} u_1 ||$ qui converge vers $0$ , par réccurence, $||f_{m_{pk}} u_p ||$ converge vers $0$ , et puisque : $( f_{m_{pp} u_p , \dots , f_{m_{(p+1)(p+1)}} u_{p+1} , \dots )$ est une suite extraite de $( f_{m_{p1}} u_p , \dots f_{m_{pk} u_p , \dots )$ , alors : $\lim ||f_{m_{pp}} u || = \lim_p \ \lim_k || f_{m_{pk}} u || =\lim 0 = 0$ . c'est une esquisse de la méthode à suivre, à toi de la corriger et l'ajuster, je t'ai écrit dans l'autre fil la méthode à suivre.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 22h28

d'accord maintenant comment prouver à partir de ce résultat que $u_n$ converge vers 0 en norme? pour obtenir une contradiction avec le fait que $||u_n||=1$

invitecbade190 · 23/05/2016, 22h42

Qu'est ce que j'ai fait. c'est fatiguant. j'ai appliqué le procédé diagonal à $f_m u_n$ et non à $u_n$ puisque tu aboutit à la formule : $||f_m u_n ||$ qui tend vers $0$ lorsque $m$ tend vers l'infini. toi tu dis qu'il faut appliquer le procédé diagonal pour extraire une sous suite à $u_n$ , or c'est $m$ qui tend vers l'infini, donc, c'est $f_m$ qu'il faut lui appliquer un procédé diagonal et non $u_n$ non ?. Bref, je ne comprends rien à ton histoire.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 22h44

Je croit q'on doit fixer $m$ pour obtenir une suite borné ...(comme j'ai fait) .et ensuite on essaye de prouver à partir de ce résultat que $u_n$ converge vers 0 en norme? pour obtenir une contradiction avec le fait que $||u_n||=1$

invitecbade190 · 23/05/2016, 23h09

D'accord, $\lim_m ||f_m u_n || = 0$ pour tout $n \geq 0$ .
Par définition :
$\forall n \geq 0 \ \forall \epsilon > 0 \ \exists m_0 \geq 0 \ \forall m \geq 0 \ : \ m \geq m_0 \ \ \Longrightarrow \ \ || f_m u_n || < \epsilon$
Donc :
$\forall \epsilon > 0 \ \exists m_0 \geq 0 \ \forall n , m \geq 0 \ : \ n, m \geq m_0 \ \ \Longrightarrow \ \ || f_m u_n || < \epsilon$
Si $u_{n(m)}$ est une suite extraite de $u_n$ , alors : $\ n : m \to n(m)$ est croissante, et par récurrence, en montre que : $n(m) > m$ . et donc, on particulier :
$\forall \epsilon > 0 \ \exists m_0 \geq 0 \ \forall n(m) , m \geq 0 \ : \ n(m) \geq m \geq m_0 \ \ \Longrightarrow \ \ || f_m u_{n(m)} || < \epsilon$
et donc : $|| f_m u_{n(m)} || \displaystyle \longrightarrow_{ m \to + \infty } 0$
peut-t-on conclure que : $|| u_{n(m)} || \displaystyle \longrightarrow_{ m \to + \infty } 0$ ? telle est la question qu'il faut lui trouver une réponse d'urgence.

si $f_m$ est bornée, peut être que oui.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 23h13

pour $m$ fixé on a $||x^m_{h(n)} ||$ converge vers $0$ quand $n$ tend vers l'infinie or $u_{h(n)}$ converge faiblement vers 0 donc ||x^m_{h(n)} || converge vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.Non?

invitecbade190 · 23/05/2016, 23h17

C'est quel théorème ?

invitecbade190 · 23/05/2016, 23h21

Ne change pas de notations stp. Je ne comprends pas les notations que tu utilises. Ne compliques pas les choses pour moi pour que je puisse voir plus claire.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 23h25

selon moi on doit répondre comme suit:
on pose $x^m_n=f_mu_n$ . on a pour $m$ fixé $\frac{c}{inf_{B(0,1)} g(x)-1)}\ge ||x^m_n||$ donc pour $m$ fixé $||x^m_n||$ est bornée.

on a $||x^1_n||$ est bornée donc il existe $h_1$ une extraction tel que $||x^1_{h_1(n)}||$ converge
$||x^2_{h_1(n)}||$ est bornée donc il existe $h_2$ une extraction tel que $||x^2_{h_10h_2(n)}||$ converge
on a ainsi $||x^1_{h_10h_2(n)}||$ et $||x^2_{h_10h_2(n)}||$ converge .
on trouve donc une extraction $h$ tel que $\forall m\in N$ $||x^m_{h(n)}||$ converge .
comme $u_{h(n)}$ converge faiblement vers $0$ par hypothèse on a $||x^m_{h(n)}||$ converge vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
Non?

invitecbade190 · 23/05/2016, 23h33

Ce n'est pas $u_{h(n)}$ qui converge faiblement vers $0$ mais $u_n$ , non ? Il y'a une différence? Si tu as l'intuition que c'est vrai, alors il faut dire comment ?

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 23h36

$h$ est une application croissante $h(n)\ge n$ donc quand $n$ tend vers l'infini $h(n)$ tend vers l'infini donc $u_h(n)$ converge faiblement vers 0

invitecbade190 · 23/05/2016, 23h40

C'est pas cohérent le passage de converge vers converge vers 0.

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 23h45

maintenant on a $||x^m_n||$ converge vers 0 comment montrer que $||u_h(n)||$ converge vers 0 et trouver une contradiction avec ||u_h(n)||=1?

invitecbade190 · 23/05/2016, 23h49

On applique l'idée qui dit que si $u_n$ est bornée et que $|u_n v_n | \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0$ , alors : $|v_n| \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0$ , non ?

invite0a7ad9a0 · 23/05/2016, 23h52

non on a si $u_n$ est bornée et que $|v_n | \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0$ , alors : $|u_nv_n| \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0$ , non ?[/QUOTE]

invitecbade190 · 23/05/2016, 23h59

D'accord, et si on applique le lemme qui affirme que si $u_n$ est bornée et ne tend pas vers $0$ à l'infini, et que : $| u_n v_n | \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0$ , alors : $|v_n | \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0$ , c'est pas correct ?

invite0a7ad9a0 · 24/05/2016, 00h07

dans notre cas on a une suite qui depond de n et l'autre depond de m

invitecbade190 · 24/05/2016, 00h12

Non tous les deux dépendent de $m$ : $|| f_m u_{ n(m) } || \ \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0$

invite0a7ad9a0 · 24/05/2016, 00h15

et non pas tout les deux depond de n qu'on fait tendre vers l'infini donc on ne peut pas utiliser ton lemme

invitecbade190 · 24/05/2016, 00h18

Tu fais semblant de pas comprendre ? c'est juste une erreur de frappe.
Non tous les deux dépendent de $m$ : $|| f_m u_{ n(m) } || \ \displaystyle \longrightarrow_{ m \to + \infty } 0$

invite0a7ad9a0 · 24/05/2016, 08h40

Bonjour chentouf
en fait je suis pas convaincu du lemme .Pouvez vous m'envoyer le lien où vous l'avez trouvé

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