Permutations, questions "plutôt compliquées"

[invite4308cf33]

Bonjour.

1) Dans un premier temps, je dois déterminer la signature et la décomposition en cycles de supports disjoints la permutation suivante :

w=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 6 9 7 2 5 8 1 3

Jusqu'ici rien de compliqué : (1478)o(265)o(39).
La signature est 1.

2) Soit d un endomorphisme de Sn tel que toute transposition a pour imagine une transposition. On note ti la transposition (1,i).

a. Montrer qu'il existe 3 entiers a1, a2 et a3 tels que d(t2)=(a1,a2) et d(t3)=(a1,a3). Démontrer que pour tout i>3, il existe un entier ai tel que d(ai)=(a1,ai).

b. Montrer que l'application c : i ---> ai est un élément de Sn et que d(w)=c o w o c^{-1} pour tout w de Sn.

Je n'arrive pas à démarrer sur ces deux questions.
Toute transposition a pour image une transposition, on a donc d(i,j)=(k,l) (je prends des valeurs absolument arbitraires).
Déjà je n'arrive pas bien à comprendre ça. On peut décomposer (1478) en produit de transpositions : (14)(47)(78), etc. C'est bien cela ? Ici on nous demande de faire (18)(17)(14)... Ou alors je n'ai pas compris ?

Quelqu'un pourrait m'expliquer ? J'ai sûrement une définition à revoir...

Merci d'avance !
-----

[invitec0f983f7]

<< Montrer qu'il existe 3 entiers a1, a2 et a3 tels que d(t2)=(a1,a2) et d(t3)=(a1,a3) >>

d(1,2) = (a1, a2)

posons d(1,3) = (b1, b2) et d(2,3) = (c1, c2)

on a (1,2) = (1,3)o(2,3)o(1,3)
donc d(1,2) = d(1,3) o d(2,3) o d(1,3)
donc (a1, a2) = (b1, b2) o (c1, c2) o (b1,b2)

Montrer que {b1, b2} et {c1, c2} ont un et un seul élément commun, disons b1=c1 par exemple,
puis conclure que b2 appartient à {a1, a2}

[invite4308cf33]

Bonjour,

Je vais essayer de suivre cette technique, je reviendrai poser une question si je n'y arrive pas ^^

[invitec0f983f7]

peut-être qu'il y a plus simple ! je ne sais pas

[A voir en vidéo sur Futura]