Séries de fonctions

[invite4308cf33]

Bonjour

J'ai un exo et je bloque sur la dernière question

Soit fn : [0,pi/2] vers R telle que pour chaque n de N* et chaque x de l'intervalle [0,pi/2], fn(x)=nsin(x)*(cos(x))^n

1. Pour chaque x de [0,pi/2], calculer lim fn(x) quand n tend en l'infini.

Ici pas de soucis, la limite est 0.

2. Calculer et

L'intégrale vaut n/(n+1) qui tend vers 1 en l'infini.

3. La suite (fn) converge-t-elle uniformément sur [0, pi/2] ?

Après avoir calculé et trouvé qu'elle s'annule quand , est positive pour x <= arctan(1/racine(n)) et négative pour x>=arctan(1/racine(n)). Donc fn croit sur le premier intervalle et décroit sur le second.

Le max est atteint en arctan(1/racine(n)) et fn(arctan(1/racine(n))) ~ fn(1/racine(n))) = racine(n) qui tend en l'infini.

4. Montrer que (fn) converge uniformément sur [a,b] si 0<a<b<=pi/2.

Ici je ne vois pas où placer x, comme arctan(1/racine(n)) sera à nouveau le maximum, je ne vois pas ce que ça va changer et pourquoi il y aurait convergence uniforme. A moins que a et b soient supérieurs à arctan(1/racine(n)) ?

Merci d'avance pour toute aide
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[invite23cdddab]

a est strictement positif, donc à partir d'un certain rang, comme arctan(1/racine(n) ) tend vers 0, il serra plus petit que a

[invite4308cf33]

Ah ben ouiiii !

Merci bcp !