Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 14 sur 14

séries de fonctions et séries entières



  1. #1
    fifrelette

    séries de fonctions et séries entières

    bonjour
    je reviens vers vous parce que là j'y arrive pas du tout
    j'ai une série Sn de 1 à n de terme général (an), cette série converge
    la série anxn et
    et la série Snxn ont un rayon de convergence supérieur à 1, leur somme respective sont A et S
    1. comment montrer que sur le domaine de convrgence ]-1;1[;
    A(x)= (16x) S(x)
    2.puis en déduire que A(x) tend vers la série de 0 à +infini an pour x tend vers 1-
    3. enfinsi la suite (an) est positive et que la série de terme général andiverge et que le rayon de convergence de la série entière anxn est au moins 1
    comment montrer que le rayon d econvergence de cette série entière est exactement 1 et que A(x) tend vers l'infini pour x tend vers 1-
    quand x tend vers 1-

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    fifrelette

    Re : séries de fonctions et séries entières

    errata
    dans la question 1 il faut lire A(x)= (1-x) S(x)

  4. #3
    Hamb

    Re : séries de fonctions et séries entières

    pour la 1e ca ressemble a un produit de cauchy.

  5. #4
    fifrelette

    Re : séries de fonctions et séries entières

    merci, je veux bien un peu plus d'explication en attendant je vais aller réviser les produits de cauchy

  6. #5
    Hamb

    Re : séries de fonctions et séries entières

    interprète S(x) comme étant le produit de cauchy de A(x) par 1/(1-x) que tu auras au préalable écrit comme une série entière.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fifrelette

    Re : séries de fonctions et séries entières

    bonsoir
    je commence à voir la solution: il faut donc montrer que le produit de la série de terme général xnavec celle de terme général anxnest égale à s(x), n'est ce pas
    donc pour pour faire le produit de 2 séries il faut que je sache faire un produit de Cauchy, si j'ai bien compris
    merci
    fifrelette

  9. Publicité
  10. #7
    Scorp

    Re : séries de fonctions et séries entières

    Il faut partir de l'écriture de S : puis transformer cette écriture pour faire apparaitre un produit de Cauchy. Le fait que tu sois censé retrouver du A(x) à la fin devrait t'aider un peu.

  11. #8
    Scorp

    Re : séries de fonctions et séries entières

    Tu peux également le faire de façon plus "artisanale" en remarquant que
    :

    On remarque alors que lorsque n tend vers l'infini, toute les quantités tendent vers .
    Donc que

  12. #9
    fifrelette

    Re : séries de fonctions et séries entières

    bonjour
    merci
    on relisant des exemples, j'ai une question qui m'est venue
    comment passe-t-on de
    an= sn-sn-1
    à
    somme anxn= somme snxn- x (somme snxn)
    et surtout pourquoi sn-1= x (somme snxn)
    bonne journée
    fifrelette

  13. #10
    Scorp

    Re : séries de fonctions et séries entières

    Tout ça est dû au passage à la limite en infini : tu vois bien que converge vers S. Il en est alors de même pour qui convergera aussi vers S (en gros, on somme avec un terme de retard par rapport à Sn, mais en l'inifini ce "retard" n'apparait plus)

    Donc quand tu calcules en passant à la limite, et vu ma remarque en début de post, tu vas donc avoir A(x)=S(x)-x.S(x)=(1-x).S(x)

  14. #11
    fifrelette

    Re : séries de fonctions et séries entières

    merci pour la réponse aussi rapide
    je vais la relire tranquillement
    est-ce que c'est ça un produit de cauchy
    sinon je ne sais pas non plus transformer S
    en produit de cauchy
    en fait j'ai pas bien compris ce que c'est ...
    je vais chercher un peu
    merci encore
    fifrelette

  15. #12
    Scorp

    Re : séries de fonctions et séries entières

    Le produit de Cauchy est le produit utilisé pour les séries, notamment parce qu'ils apportent des résultats intéressants

    On le définit comme suit : soit A la série de terme générale (an) et B une série de t.g (bn), alors la série C de terme général (cn) est le produit de Cauchy de A et B si et convergera (sous certaines hypothèses) vers A.B

    Dans ton cas, il faut donc faire apparaitre ce (cn) dans la somme, soit :


    On a donc identifier notre produit de Cauchy avec

    On en déduit alors que C converge vers le produit A.B avec et . On a donc au final

  16. Publicité
  17. #13
    fifrelette

    Re : séries de fonctions et séries entières

    bravo pour la clarté des explications
    et merci pour la patiente qu'il vous faut pour m'expliquer ce que je n'avais pas compris et qui me semble plus clair à présent
    pour finir comment je dois comprendre que je peux déduire de A(x)= (1-x) s(x) que A(x) -> série de t.g an pour x->1-?

  18. #14
    fifrelette

    Re : séries de fonctions et séries entières

    encore une question
    pour une série divergentede t.g a[IND]n[IND] et de R de cvgce 1
    montrer que la série de t.g anxntend vers l'infini
    pour x tend vers 1- est équivalent à montrerque cette série de t.g anxnest divergente?

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. séries entières
    Par littlegirl dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 07/06/2009, 22h40
  2. séries entières et suites de fonctions
    Par aurk dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 05/01/2009, 14h49
  3. Définition séries de Taylor, séries entières
    Par jeanmi66 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 23/06/2008, 16h40
  4. séries entières
    Par alexlecobra dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 21/11/2007, 19h12
  5. Séries entières
    Par bibi441 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 07/11/2007, 23h23