séries de fonctions et séries entières

[invitef7cb9c5c]

bonjour
je reviens vers vous parce que là j'y arrive pas du tout
j'ai une série S_n de 1 à n de terme général (a_n), cette série converge
la série a_nx^{n et}
et la série S_nxⁿ ont un rayon de convergence supérieur à 1, leur somme respective sont A et S
1. comment montrer que sur le domaine de convrgence ]-1;1[;
A(x)= (16x) S(x)
2.puis en déduire que A(x) tend vers la série de 0 à +infini a_n pour x tend vers 1^-
3. enfinsi la suite (a_n) est positive et que la série de terme général a_ndiverge et que le rayon de convergence de la série entière a_nxⁿ est au moins 1
comment montrer que le rayon d econvergence de cette série entière est exactement 1 et que A(x) tend vers l'infini pour x tend vers 1^-
quand x tend vers 1^-
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[invitef7cb9c5c]

errata
dans la question 1 il faut lire A(x)= (1-x) S(x)

[Hamb]

pour la 1e ca ressemble a un produit de cauchy.

[invitef7cb9c5c]

merci, je veux bien un peu plus d'explication en attendant je vais aller réviser les produits de cauchy

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

interprète S(x) comme étant le produit de cauchy de A(x) par 1/(1-x) que tu auras au préalable écrit comme une série entière.

[invitef7cb9c5c]

bonsoir
je commence à voir la solution: il faut donc montrer que le produit de la série de terme général xⁿavec celle de terme général a_nxⁿest égale à s(x), n'est ce pas
donc pour pour faire le produit de 2 séries il faut que je sache faire un produit de Cauchy, si j'ai bien compris
merci
fifrelette

[Scorp]

Il faut partir de l'écriture de S : puis transformer cette écriture pour faire apparaitre un produit de Cauchy. Le fait que tu sois censé retrouver du A(x) à la fin devrait t'aider un peu.

[Scorp]

Tu peux également le faire de façon plus "artisanale" en remarquant que
:

On remarque alors que lorsque n tend vers l'infini, toute les quantités tendent vers .
Donc que

[invitef7cb9c5c]

bonjour
merci
on relisant des exemples, j'ai une question qui m'est venue
comment passe-t-on de
an= s_n-s_n-1
à
somme a_nxⁿ= somme s_nxⁿ- x (somme s_nxⁿ)
et surtout pourquoi s_n-1= x (somme s_nxⁿ)
bonne journée
fifrelette

[Scorp]

Tout ça est dû au passage à la limite en infini : tu vois bien que converge vers S. Il en est alors de même pour qui convergera aussi vers S (en gros, on somme avec un terme de retard par rapport à Sn, mais en l'inifini ce "retard" n'apparait plus)

Donc quand tu calcules en passant à la limite, et vu ma remarque en début de post, tu vas donc avoir A(x)=S(x)-x.S(x)=(1-x).S(x)

[invitef7cb9c5c]

merci pour la réponse aussi rapide
je vais la relire tranquillement
est-ce que c'est ça un produit de cauchy
sinon je ne sais pas non plus transformer S
en produit de cauchy
en fait j'ai pas bien compris ce que c'est ...
je vais chercher un peu
merci encore
fifrelette

[Scorp]

Le produit de Cauchy est le produit utilisé pour les séries, notamment parce qu'ils apportent des résultats intéressants

On le définit comme suit : soit A la série de terme générale (an) et B une série de t.g (bn), alors la série C de terme général (cn) est le produit de Cauchy de A et B si et convergera (sous certaines hypothèses) vers A.B

Dans ton cas, il faut donc faire apparaitre ce (cn) dans la somme, soit :


On a donc identifier notre produit de Cauchy avec

On en déduit alors que C converge vers le produit A.B avec et . On a donc au final

[invitef7cb9c5c]

bravo pour la clarté des explications
et merci pour la patiente qu'il vous faut pour m'expliquer ce que je n'avais pas compris et qui me semble plus clair à présent
pour finir comment je dois comprendre que je peux déduire de A(x)= (1-x) s(x) que A(x) -> série de t.g a_n pour x->1^-?

[invitef7cb9c5c]

encore une question
pour une série divergentede t.g a[IND]n[IND] et de R de cvgce 1
montrer que la série de t.g a_nxⁿtend vers l'infini
pour x tend vers 1^- est équivalent à montrerque cette série de t.g a_nxⁿest divergente?