Bonjour,
je cherche à calculer la norme de l'opérateur qui est définie sur les fonctions continues 2pi-périodique par :

où g est une fonction continue elle aussi 2pi-périodique.

La majoration se fait sans mal :

Pour montrer l'égalité, j'ai fait ceci, mais arrivé à la fin, j'ai l'impression que tout marche "trop bien" pour qu'il n'y ai pas de couac qqpart :
Soit
f est intégrable sur [-pi,pi], et par densité des fonction continues nulles en -pi et pi dans L1[-pi,pi], il éxiste une suite (f_n) convergeant vers f pour la norme L1.

On peut extraire (f_nk) une sous suite convergeant presque partout vers f.

On remarque que les f_n, f et g sont aussi dans L2[-pi,pi], et donc l'intégrale ci dessus se récrit comme le produit scalaire <f,g>.

est continu pour tout a, d'où :


Or

Et donc

Est-ce bon ?