Les fonctions bijectives

[invite9a322bed]

Bonsoir,

J'ai une question assez simple, comment montrer que si :
alors est une bijection .

J'ai pensé à dire que est bijective , et égale à donc aussi.
J'ai considéré que si et que bijective, alors et aussi.
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[invite57a1e779]

Indication : devrait te permettre de déterminer un candidat au poste de .

[invite00970985]

J'ai considéré que si et que bijective, alors et aussi.

C'est complètement faux. Prend
u(x)=x si x<0, 0 sinon,
et
v(x)=0 si x<0 et x sinon

Tu as u+v=id qui est clairement bijective, mais ce n'est le cas ni de u ni de v.

Pour montrer qu'une fonction est bijective, c'est en général assez périlleux de le montrer en une fois. Décompose ta démo : essaie de montrer que f est injective PUIS que f est surjective.

[invite9a322bed]

Je ne sais pas vraiment..... à coup d'hasard :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Le hasard fait parfois bien les choses...

[invite9a322bed]

Mais peut conclure que f est bijective, car il existe g=f^{-1} tel fog=id ?

[invitec317278e]

si est bijective, avec f et g des fonction d'un ensemble dans lui même, alors, g est injective, et f est surjective.

ceci permet, si les applications commutent, comme c'est le cas chez toi, d'affirmer que f et g sont alors bijectives.

[invite9a322bed]

Oki merci

[invitebfd92313]

juste une précision, quels sont les ensemble de départ et d'arrivée de f ? a-t-on affaire à une application linéaire ?

[invite9a322bed]

Ce que je ne comprend pas, c'est que le f^{-1} que j'ai proposé, j'ai supposé que f était linéaire !

[Seirios]

Quel est exactement le cadre de l'exercice ? f est une application quelconque ?

[invite9a322bed]

J'ai finalement compris ! Je ne savais pas que si on avait gof=id=fog alors f est bijective et f la réciproque Et il faut que f soit un endomorphisme sinon ca ne marche pas !

[invite57a1e779]

Je ne savais pas que si on avait gof=id=fog alors f est bijective et f la réciproque

C'est pourtant la définition élémentaire de la bijection réciproque/

Et il faut que f soit un endomorphisme sinon ca ne marche pas !

Pour envisager
– de multiplier par 2;
– de composer par elle-même pour obtenir (à moins qu'il ne s'agisse de multiplier par elle-même, auquel cas, tout se casse la figure) ;
– d'additionner , et ;
cela suppose que soit définie d'un ensemble dans lui-même, et que cet ensemble soit muni d'une structure algébrique assez riche...
J'en déduis que l'énoncé doit préciser que est un endomorphisme d'un espace vectoriel .

[invite9a322bed]

C'est pourtant la définition élémentaire de la bijection réciproque/



Pour envisager
– de multiplier par 2;
– de composer par elle-même pour obtenir (à moins qu'il ne s'agisse de multiplier par elle-même, auquel cas, tout se casse la figure) ;
– d'additionner , et ;
cela suppose que soit définie d'un ensemble dans lui-même, et que cet ensemble soit muni d'une structure algébrique assez riche...
J'en déduis que l'énoncé doit préciser que est un endomorphisme d'un espace vectoriel .

Oui ça a été précisé ! Mais l'énoncé était bizarre, je pensais que c'était une question séparée des autres ^^