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Fonctions non continues bijectives



  1. #1
    invite7863222222222
    Invité

    Fonctions non continues bijectives


    ------

    Bonjour,

    je voudrais savoir s'il existe des fonctions par exmple de [0;1] dans [0;1] bijectives et continues en aucun point. Et si oui (ce que je pense), ce qui m'interesse plus c'est plutot la manière dont elle sont définies mathématiquement.

    Merci bien,

    -----

  2. #2
    evariste_galois

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Salut,

    Regarde ce lien:
    http://nte-serveur.univ-lyon1.fr/nte...cice_3_12.html

    Bonne lecture.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  3. #3
    rvz

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Bonjour,

    Allez, je me lance :
    Je définis
    f(x) = x pour x irrationnel
    f(x) = 1-x pour x rationnel différent de 1/2 et de 0, et de 1
    f(1/2) = 1
    f(1) = 1/2

    Je pense que ça marche.

    __
    rvz

  4. #4
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Oui effectivement merci .

    Toujours pa curiosité et dans le même ordre d'idée, existe-il des algorithmes itératifs permettant de construire des fonctions bjectives non continues à partir d'une fonction continue (par exemple x -> x)?

    Je pense à une division de plus en plus fine de l'intervalle [0;1] à chaque itération de l'algorithme.

    La fonction cherchée serait alors le resultat de l'algorithme après un nombre infini d'itérations.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    rvz

    Re : Fonctions non continues bijectives

    C'est ce que j'ai cherché avant de trouver mon exemple.
    Ca fait penser à l'escalier du diable, et à toutes ces diaboliques fractales. Je suis sûr que ça existe.

    __
    rvz

  7. #6
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Ca fait penser à l'escalier du diable
    Oui marrant cet escalier du diable continue partout mais dérivable nulle part.

    Sinon curieusement, j'ai pas trouvé grand chose dans la littérature sur la construction itérative de fonctions non continues.

    En fait je douter même que ce soit possible.

  8. #7
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    En fait je doute même que ce soit possible.
    Non je retiure, je suis sûr que c'est possible.

  9. #8
    rvz

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Citation Envoyé par jreeman
    Non je retiure, je suis sûr que c'est possible.
    Bon, on est d'accord, mais il faut reconnaître que ça ne nous aide pas des masses

    J'ai pas trop le temps en ce moment d'y réfléchir en détail, mais, je suis sûr qu'on peut arriver à faire des choses intéressantes en s'inspirant de l'escalier du diable et d'une fonction bijective non continue.
    Par exemple, tu prends f une fonction bijective non continue, et tu veux construire h_n de façon itérative, avec h_n bijective, et qui tend vers une fonction h discontinue partout.

    J'aurais envie d'essayer des trucs du type "ensemble triadique", ie
    h0(x) = x
    h1(x ) = f(3x)/3 si x est dans (1/3,2/3), h0(x) sinon.
    h2(x) = h1(3x) /3 pour x dans (0,1/3), h1(x) dans (1/3,2/3), h1(3x-2)/3 pour x dans (2/3,1).

    Après, je te laisse écrire une formule générale, tout ça tout ça, mais ça devrait donner un truc horrible mais bijectif, si je ne me suis pas planté, et discontinu partout .

    Ce qui est bizarre en plus, c'est qui si je ne me plante pas, la fonction limite (simple) hinfini étant aussi une bijection de [0,1] dans [0,1], on peut réitérer le processus avec f = hinfini. Posons Tf = hinfini, où T est un opérateur des fonctions bijectives vers les fonctions bijectives qui à une fonction f associe la limite simple des hn. Peut-on trouver f tel que f = Tf. Je pense que oui, et je pense que l'objet en question est méchamment fractal. Peut-être même que pour tout f, T^n f converge. Et si c'est le cas, est ce qu'on pourrait avoir une caractérisation de toutes les fonctions g telles que T^n f - T^n g tendent vers 0 ? (classes d'équivalences).

    Si tu pouvais me tenir informé de ces constructions, et surtout si ça marche (je n'ai fait qu'intuiter des constructions) , ça m'intéresse. Ca peut faire des beaux exos de TDs Je vois ça d'ici :

    "Aujourd'hui, construction de fonctions merdiques :
    1/ Les continues, presque partout dérivable de dérivée nulle, tel que f(0) = 0 et f(1) = 1.
    2/ Une bijective de [0,1] dans [0,1] nulle part continue.
    3/ Construction d'une fractale bijective de [0,1] dans [0,1]"

    __
    rvz, qui a toujours été fasciné par ces fonctions, même s'il faut bien avouer qu'elles sont assez inutilisables...

  10. #9
    physiquantique

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Bonjour,

    Allez, je me lance :
    Je définis
    f(x) = x pour x irrationnel
    f(x) = 1-x pour x rationnel différent de 1/2 et de 0, et de 1
    f(1/2) = 1
    f(1) = 1/2

    Je pense que ça marche.

    __
    rvz
    vu la date je vais un peu passer pour un g...du mais comment a t on trouvé de telle fonctions ?
    Dernière modification par physiquantique ; 30/12/2011 à 22h00.
    vivons avec légerté

  11. #10
    God's Breath

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Avec un peu d'habitude.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonctions non continues bijectives

    j"aimebien l'approche de jreeman !
    parceque c'est créatif !

  13. #12
    Tryss

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Sinon, pour une approche itérative, on peut peut-être utiliser l'algorithme suivant :

    Soit la fonction f(x) = x sur [0,1]
    Tant qu'il existe un intervalle ]a,b[ ou la fonction est égale à l'identité, alors :
    Tirer deux nombres (c,d) au hasard dans ]a,b[
    définir f(c) = d et f(d) = c

    La question que je me pose est "est ce que c'est bien discontinu partout à la limite?" (et vu l'heure j'ai pas envie de réfléchir )

  14. #13
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Tryss bien vu mais j'y avais pensé, justement je parlais bien sûr d'algorithme déterministe.

  15. #14
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Après ce déterrage, voici une idée plus ou moins liée à la question :

    la méthode consiste à partir de l'idée qu'un nombre réel peut s'écrire plus ou moins comme la limite d'une suite convergente de nombres rationnels, alors l'idée est de mettre en face de chaque abscisse réelle, en ordonné le réel correspondant à la concaténation des digits des nombres rationnels de la suite.

    C'est pas vraiment un algorithme et donc ça répond pas vraiment à la question de départ, mais c'est ce que j'ai trouvé de mieux qui ressemble à peu près à une construction.

    PS : et pour l'esthétique, cette construction juste pour les réels non rationnels et pour les rationnels (ordonnés suivant une bijection avec IN "habituelle"), par exemple, les éléments de la suite de Van der Corput.
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 31/12/2011 à 02h54.

  16. #15
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Sinon tout algorithme au sens habituel ne fournit qu'un ensemble dénombrable de nombres, or les nombres réels sont indénombrables, donc, impossible de faire avec cette notion d'algorithmes.

    Ce qui veut dire qu'on est obligé de définir l'algorithme comme l'ensemble formé d'un "thread" qui lance plusieurs autres threads qui à leur tour lancent plusieurs autres threads etc.

    Le fait que l'on ne veuille pas retomber sur un algorithme séquentiel semble devoir impliquer que les threads doivent être tous "indépendants", c'est à dire ne pas (jamais ? je suis pas encore bien sûr à 100%, mais bien à 99% plutôt que ça veuille dire cela) communiquer entre eux et donc aussi que le motif restera très imprégné d'un motif "de départ" qui délimite la "zone d'action" des premiers thread.

    Ce qui signifie qu'on ne pourra de toute façon pas obtenir quelque chose de très équi-réparti comme j'avais laissé penser au départ que c'était ce que je recherchais (pour des raisons esthétiques).

    Reste donc la question en gras et en parenthèse à laquelle je n'ai pas apparemment encore vraiment bien réfléchi.
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 31/12/2011 à 03h22.

  17. #16
    Médiat

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Bonjour,
    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    la méthode consiste à partir de l'idée qu'un nombre réel peut s'écrire plus ou moins comme la limite d'une suite convergente de nombres rationnels, alors l'idée est de mettre en face de chaque abscisse réelle, en ordonné le réel correspondant à la concaténation des digits des nombres rationnels de la suite
    Je vois deux problèmes ici :
    1) Il n'existe pas une mais des suites de rationnels qui tendent vers un réel donné (et même "beaucoup")
    2) Que faire si parmi les rationnels de la suite, l'un d'entre eux a un développement décimal infini ?

    Citation Envoyé par jreeman
    Sinon tout algorithme au sens habituel ne fournit qu'un ensemble dénombrable de nombres, or les nombres réels sont indénombrables, donc, impossible de faire avec cette notion d'algorithmes.
    La première partie de cette phrase est exacte, néanmoins, on deut définir un algorithme, par exemple, sous la forme :
    Si x est irrationnel f(x) = x (comme l'a fait rvz, mais des tonnes de fonctions peuvent marcher ici)
    Si x est rationnel f(x) = ...

    Et là il n'y a qu'un nombre dénombrable de cas à générer.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #17
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Je vois deux problèmes ici :
    1) Il n'existe pas une mais des suites de rationnels qui tendent vers un réel donné (et même "beaucoup")
    Oui, exact, mon point était de réussir à trouver une bijection, du moment qu'il y a au moins une telle suite, et que ça aide à la construction de la bijection, alors c'est déjà çà.

    2) Que faire si parmi les rationnels de la suite, l'un d'entre eux a un développement décimal infini ?
    En fait j'ai parlé de développement décimal, mais je pensais à autre chose (l'heure avancée aidant surement ), je pensais à la concaténation des deux nombres entier (premiers entre eux) dans le rapport des nombres donnant le rationnel.

    La première partie de cette phrase est exacte, néanmoins, on deut définir un algorithme, par exemple, sous la forme :
    Si x est irrationnel f(x) = x (comme l'a fait rvz, mais des tonnes de fonctions peuvent marcher ici)
    Si x est rationnel f(x) = ...

    Et là il n'y a qu'un nombre dénombrable de cas à générer.
    Oui exact. On voit aussi qu'on peut aussi définir l'algorithme de manière inverse comme je l'ai fait avec la concaténation des entiers des éléments d'une suite qui converge vers le réel lorsque x est irrationnel et f(x) = x (là aussi il y a pleins d'autres possibilités) lorsque x est rationnel.

    Ceci dit, c'est aussi ce que j'avais essayé de faire avec une fonction successeur d'ailleurs sur les rationnels ici (mais, comme God's Breath l'avais montré, j'arrivais pas à construire à partir de cette fonction une bijection sur [0;1], par contre sur IR ça me semble bizarrement possible, il faudrait aussi surement "déterrer" cet autre fil).
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 31/12/2011 à 10h00.

  19. #18
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Plus précisément :

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    j'arrivais pas à construire à partir de cette fonction [successeur] une bijection sur Q Inter [0;1], par contre sur un ouvert (Q ou Q Inter ]0;1[) (...)
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 31/12/2011 à 10h50.

  20. #19
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonctions non continues bijectives

    bonjour jreeman, je me suis fait déjà piégé dans une démarche analogue il ya un an environ ( une limite de suite je crois )
    sachant que de surcroit Q est dense dans IR ! je m'étais betement accroché à ça ( erreur fatale ! )
    heurreusement rectifié par Médiat !
    (c'est quand même un peu masochiste les nombres .
    j'espère ne pas être HS,mais il me semble que les pièges sont du même ordre.

  21. #20
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Bonjour,

    je ne crois pas que ce soit le même piège dont il s'agit car dans mon cas il s'agit plus plus dun problème de manque de pratique avec les notions topologiques comme les ouverts/fermemé, plus qu'un problème de densité entre Q et IR (le piège est peut être d'ailleurs de croire qu'il s'agit d'un problème de densité alors que ça semble en fait ne pas être beaucoup lié).


    De mon côté c'est Médiat, rvz et GB qui m'ont permis de me sortir de ces pièges.

    Mais c'est vrai que ces questionnements mettent terriblement à mal nos intuitions, c'est peut être subjectif mais je trouve que c'est aussi ce qui font leur charme.

    En tout cas, je serai intéressé de connaître votre question si c'est en rapport.
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 31/12/2011 à 15h12.

  22. #21
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Oui effectivement merci .

    Toujours par curiosité et dans le même ordre d'idée, existe-il des algorithmes itératifs permettant de construire des fonctions bjectives non continues à partir d'une fonction continue (par exemple x -> x)?
    .
    dans l'exemple que tu prends
    tu peux définir f(x)=x pour x irrationnel
    et f(x) =2x pour x rationnel.
    c'est totalement bijectif et continue nul part !

  23. #22
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    C'est sur [0;1] que je posais le problème. 2x on sort de l'intervalle pour x > 1/2.

  24. #23
    Médiat

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Bonjour,
    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    c'est totalement bijectif et continue nul part !
    Il me semble bien qu'elle est continue en 0.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #24
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions non continues bijectives

    Autre point il vaut mieux répondre aux derniers messages les anciens sont vraiment du déterrage, bien que ça nempeche pas dans l'absolu d'y revenir sil faut y apporter des éléments d'explications du problème initialement posé.
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 31/12/2011 à 16h12.

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