Forme différentielle exacte

[invitec3143530]

Bonjour, j'ai une petite question pour savoir si j'ai bien compris la notion de forme différentielle exacte :
Soit par exemple la forme w(x) = ydx+xydy, peut-on dire qu'elle n'est pas exacte ? Mon raisonnement est le suivant : supposons qu'il existe une fonction f dont la différentielle est w, alors en "primitivisant" par rapport à x, f est de la forme xy+K(y) où K ne dépend que de y. Mais en "primitivisant" par rapport à y elle doit être de la forme xy²/2 + K(x) où K ne dépend que de x. Or une fonction f ne peut pas être simultanément des deux formes.

Merci d'avance.
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[invite76543456789]

Bonjour,
En fait pour savoir si un forme est ou non exacte.
Il y a deux choses a savoir, 1 est ce que sa differentielle est nulle, 2 quelle est la topologie de l'espace.
Ici la differentielle n'est pas nulle.
Effectivement ton raisonnement m'a l'air aussi correct.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il me semble que la première chose à faire est de vérifier si la forme est fermée. Dans le cas étudié : et la forme n'est pas fermée, encore moins exacte.

Pour la méthode par primitivation, il me semble qu'après avoir primitivé par rapport à une variable, il est plus simple de dériver par rapport à l'autre variable.

De , on déduit effectivement que est, sur R², de la forme , et la fonction , qui ne dépend pas de doit satisfaire : , ce qui est impossible.

Il faut de plus faire attention à l'ensemble sur lequel on pratique le calcul.

Si l'on part de : , on peut avoir l'impression que l'on a de la forme : avec qui ne dépend que de : c'est faux. En effet, on travaille sur l'ouvert et, pour , on travaille en sur l'ensemble : rien n'impose de prendre la même constante d'intégration sur chacun des intervalles et . Dans un tel cas, on aurait de la forme : avec qui ne dépend que de pour , et qui dépend de et du signe de pour .

[invitec3143530]

Merci beaucoup pour ces précisions, c'est plus clair pour moi maintenant

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