fonctions jamais continues ???

[Keorl]

Bonjour.
L'an dernier (en terminale), ma prof de math m'a dit (suite à je ne sais plus quelle remarque de ma part), qu'il existe des fonctions qui ne sont jamais continues, faites en quelques sortes de points complêtement disparates.
Mais j'ai beau avoir rêfléchi, je ne vois pas comment faire ça en composant les fonctions que je connais. Y-a-t-il autre chose??? comment est-ce possible?

Bon c'est vrai que je poste un peu tard , mais après tout les fonctions en question n'ont pas disparu depuis, je pense.
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[GuYem]

Salut. Ca existe bien mais c'est plutôt dur à appréhender.
Si tu connais Q, l'ensemble des rationnels, alors la fonction qui a x associe 1 si x est dans Q et 0 sinon est nulle part continue.

[invite5f448492]

Et ça s'appelle la fonction caractéristique des rationnels. (et c'est assez pratique comme fonction)

[Keorl]

ah oui, c'est pas bête ça. Ca doit venir du fait que Q est dense dans R. je n'avait pas pensé aux fonctions définies par cas.
Merci de vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Ca doit venir du fait que Q est dense dans R.

Oui mais ce n'est pas suffisant. R est dense dans R et la fonction caractéristique de R est continue. Avec Q dense dans R et le complémentaire de Q dense dans R, là oui, tu peux en déduire que la fonction n'est continue nulle part.
Je pense que tu avais bien compris, mais ça ne fait pas de mal de bien préciser les choses

[Keorl]

Oui, pas de problemes . Evidemment qu'il faut que le complémentaire soir dense dans R aussi. Mais ce n'est pas du luxe une pitite précision.

[invite238f9661]

Mentionnons, pendant qu'on y est, qu'il y a aussi des trucs encore plus difficiles à imaginer, comme des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part (par exemple la fonction de Van der Waerden)!

[invite6b1e2c2e]

Et des fonctions continues, dérivables presque partout, à dérivée nulle presque partout, et telles que f(0)=0,
f(1)=1...

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rvz, pour le monde fascinant des bizarreries

[invitec5b86fa9]

Franchement ça m'interreserait vraiment de voir cet exemple, tu crois que tu pourrais me l'expliquer ou au pire m'envoyer vers un lien.

merci.

ps : quand tu dit presque partout, c'est ça dire que l'on a la propriété vraie sauf pour un ensemble de mesure nulle ?

[inviteab2b41c6]

quand tu dit presque partout, c'est ça dire que l'on a la propriété vraie sauf pour un ensemble de mesure nulle ?

Sauf peut être, sur un espace de mesure nulle.

Le problème de ces fonctions, est qu'elles ne sont pas limites simples de fonctions continues.

[invitec314d025]

Sauf peut être, sur un espace de mesure nulle.

J'ai du mal à comprendre cette remarque. Une explication ?
Pour moi presque partout signifie "sauf sur un ensemble négligeable", ce qui n'est forcément équivalent à "sauf sur un ensemble de mesure nulle", bien que l'on puisse compléter une mesure de manière à ce que les ensembles négligeables soient mesurables.
Mais comme moi et les mesures ça fait 2, si tu pouvais expliquer ta remarque Quinto ...

[inviteab2b41c6]

Je pense que tu as tout dit Matthias.
A+

[invite6b1e2c2e]

Si tu veux une fonction continue nulle part dérivable, je l'ai fait dans un cours que j'ai rédigé (p.24), que tu peux trouver sur
http://www.eleves.ens.fr/home/ervedoza/inde/Cours.pdf

Je ne comprends pas non plus l'affirmation de Quinto : Pourquoi ça ne pourrait pas être limite simple de fonctions continues ?!

Enfin, si tu veux une fonction continue partout, de dérivée presque partout nulle, et qui, pourtant, est croissante, tu peux aller voir sur http://www.mathcurve.com/fractals/es...dudiable.shtml
ou tout autre site qui parle d'escalier du diable.
De plus, n'en déplaise à Quinto, elle est limite simple de fonctions continues

__
rvz

[inviteaeeb6d8b]

Vous avez dit : Q est dense dans R : même si je vois à peu près ce que ça veut dire, quelle est la définition véritable de la densité ?

[invite88ef51f0]

Ca veut dire qu'entre deux réels, il existe toujours un rationnel.

[invitec314d025]

quelle est la définition véritable de la densité ?

Dans un espace topologique X. Une partie A de X est dense dans X si son adhérence est égale à X.
Pour le cas de Q dense dans R, ça peut se caractériser comme le dit Coincoin.

[Keorl]

Qu'est-ce que l'adhérence??? D'après la définition que tu donnes de A dense dans X, je me fais une petite idée, mais une définition mathématique précise serait bienvenue.

Et puis, curiosité: c'est quoi la fonction de Van der Waerden? ça m'a l'air tout à fait interessant!

[inviteaeeb6d8b]

Dans un espace topologique X. Une partie A de X est dense dans X si son adhérence est égale à X.
Pour le cas de Q dense dans R, ça peut se caractériser comme le dit Coincoin.

OK merci, c'est ce que j'attendais
... mais effectivement une définition précise de l'adhérence serait la bienvenue !

[invitec314d025]

Moi je veux bien vous donner une définition précise, mais si je vous parle d'ensemble ouverts ou fermés, j'ai dans l'idée que ça ne va pas vous aider beaucoup (l'adhérence est une des notions de base de la topologie, et si vous ne l'avez pas vu, c'est probablement que vous n'avez pas encore fait de topologie ...).

[inviteaeeb6d8b]

Dis toujours, on va commencer la topologie d'ici quelques semaines !

[invitec314d025]

Dans ce cas vous pouvez jeter un oeil à la bibliothèque de mathématiques.
Mais ça risque quand même d'être un peu lourd.
Vous avez vous les espaces vectoriels normés au moins ? Ce n'est pas le cadre le plus général pour faire de la topologie, mais c'est un bon début.

[Keorl]

J'ai vu les espaces vectoriels vendredi, et les sous-espaces vectoriels. Normé? je ne sais pas ce que c'est.
Un ensemble ouvert, ce n'est pas un ensemble qui n'a pas de maximum ou de minimum?

[invitec314d025]

Non, pas vraiment.
Pour les espaces vectoriels normés, tu devrais voir ça très bientôt

[inviteab2b41c6]

Je ne comprends pas non plus l'affirmation de Quinto : Pourquoi ça ne pourrait pas être limite simple de fonctions continues ?!

Je parle des fonctions nul part continue sur R.

De plus, n'en déplaise à Quinto, elle est limite simple de fonctions continues

Cf ma remarque précédente, on ne parle pas de la même chose.
A+

[invite6b1e2c2e]

yep !
J'avais pas vu que tu répondais au post encore au-dessus. Décidèment, y a des jours où on fait rien de bon

__
rvz

[inviteeac53e14]

Non, pas vraiment.
Pour les espaces vectoriels normés, tu devrais voir ça très bientôt

Selon les programmes officiels, les evn sont étudiés dans le cas général en maths spé donc ce n'est pas sûr qu'il le voit cette année (il est en sup, je crois)

[Keorl]

En effet, je suis en Sup, et fini le chapitre espaces vectoriels ce matin. Pas trace d'espaces vectoriels normés.

Mais j'ai pu mettre en termes méthématiques l'idée que je me fait de l'adhérance:
Adhérence: union quand €>0 (epsilon) tend vers 0 des ensembles de points situés à une distance inférieure à € de chacun des points de l'ensemble dont on cherche l'adhérence.
Dans le cas de Q, ça donne une union de segmemts, et on trouve bien R, et pour R\Q aussi. Dans le cas d'un plan, on prend par exemple les complexes dont Re et im sont dans Q, les cerce de rayon € autour, et quand €->0, on trouve bien la réunion= la plan entier. Plus qu'à mettre ça à la dimention n dans les espaces vectoriels, et ça correspond à la fois à la définition que tu as donné de Q dense dans R et aux indications sur l'adhérence.

Dites moi si je suis complêtement à côté, ce ne sont que pures suppositions.

[invitec314d025]

En effet, je suis en Sup, et fini le chapitre espaces vectoriels ce matin. Pas trace d'espaces vectoriels normés.

Vous avez quand-même du voir Rⁿ et la définition d'une norme non ?
Sinon prend par exemple:

qui est une des normes standards sur Rⁿ.
Sur R, cela correspond à la valeur absolue. Tu reconnaitras aussi ce qu'on appele couramment la norme d'un vecteur au collège et au lycée.

L'important c'est que cela permet d'avoir une distance sur Rⁿ, c'est à dire une fonction d de RⁿxRⁿ telle que:
d(x;y) = d(y;x) >= 0
d(x;y) = 0 <=> x = y
d(x;z) <= d(x;y) + d(y;z) (inégalité triangulaire).

Ici il suffit de prendre d(x;y) = || x - y ||

Mais j'ai pu mettre en termes méthématiques l'idée que je me fait de l'adhérance:
Adhérence: union quand €>0 (epsilon) tend vers 0 des ensembles de points situés à une distance inférieure à € de chacun des points de l'ensemble dont on cherche l'adhérence.

Y a de l'idée, mais ce n'est pas très clair. En introduisant quelques notions supplémentaires, ça devrait mieux passer.

Si on se place dans un ensemble X muni d'une distance d. On dit que (X;d) est un espace métrique.

boule ouverte de centre x et de rayon r:
B(x;r) = {y dans Rⁿ / d(x;y) < r}

boule fermée de centre x et de rayon r:
Bf(x;r) = {y dans Rⁿ / d(x;y) <= r}

ensemble ouvert (A inclu dans X):


propriétés:
une boule ouverte un est ouvert.
toute réunion d'ouverts est un ouvert.
toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.
et X sont ouverts.

ensemble fermé (A inclu dans X):
A est fermé <=> complémentaire de A dans X est ouvert

propriétés:
une boule fermée est fermée.
toute intersection de fermés est un fermé.
toute réunion finie de fermés est un fermé.
et X sont fermés.

intérieur d'un ensemble A inclu dans X:
réunion de tous les ouverts contenus dans A

adhérence (ou fermeture) d'un ensemble A inclu dans X:
intersection de tous les fermés qui contiennent A

Il y a beaucoup, beaucoup d'autres choses à dire, mais si vraiment le sujet te passionne, essaie de te familiariser avec ces quelques notions, de regarder ce que ça donne dans R ou R² avec la distance usuelle, etc, sinon ça peut attendre

[Keorl]

Merci.
Cette d&#233;fiinition correspond bien (&#224; peu pr&#232;s) &#224; ce que je voulais dire. (quelle intuition :s: )
Et j'imagine tr&#232;s bien ce que les distances dans R^n donnent, pas de probl&#232;mes. Mais bon, je vais &#233;viter de retenir par coeur tout &#231;a pour l'instant, j'en ai assez &#224; apprendre avec mes cours de math!

[invitec314d025]

Et j'imagine très bien ce que les distances dans R^n donnent, pas de problèmes.

Attention quand-même.
d(x;y) = 1 si x différent de y
d(x;y) = 0 si x = y
est une distance tout à fait valide en mathématiques.
Elles ne correspondent pas toutes à l'image qu'on se fait habituellement d'une distance.