Algebre linéaire exercice vibrations d'une rangée de n masses égales reliée par ressorts

[invite3d964c90]

Bonjours
je galère avec un exercice sur le chapitre diagonalisation de matrices je vous mets le sujet,
c'est le premier exercice sur L’étude des vibrations d’une rangée de n masses égales reliées par des ressorts d’égales raideurs et fixés aux extrémités

pour la première question c'est vite fais on trouve -1,et -3 comme valeurs propre
pour la deusieme question je sais que pour la jème ligne de -2*(0....0,sin(jkPi/n+1),0............0) pour la j-1 et j+1 on aura (0....0,sin(jkPi/n+1),0............0)
mais je ne sais pas comment monter la demonstration je vous met une image aussi ,
pour montrer que An est inversible il suffit de montrer que sont determinant est non nulle j'ai essayé par reccurence mais ca marche pas
pour la question 4 la somme des valeurs propre vaut -2*n

merci d'avance
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[invite00970985]

Pour la 2), non. Je ne comprends pas bien à quoi correspond ce que tu as écrit, mais ça ne ressemble pas du tout à l'énoncé. Essaie d'écrire A.v_1 pour n=2 (il ne doit te rester aucune constante sous forme littéral). En appliquant des formules trigos, tu tombes sur ce qu'il faut.

Pour la 3), une autre façon de dire que A est inversible est de dire qu'elle n'admet pas de valeur propre nulle.

[invite3d964c90]

merci ça ma vraiment aidé à trouver ou est ce que je me suis planté