Séries Numériques / Suites de Fonctions / Séries de Fonctions / Séries Entières

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Bonjour, je suis étudiant en L2 de Physique.
Mon sujet porte sur les suites et séries. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
J'ai quelques questions et problèmes :

1- Séries Numériques :
Pour prouver sa convergence, il faut bien simplement la majorer par une somme connue dont on sait qu'elle converge (ex : somme de Riemann...) ??
Il y a t'il d'autres sommes remarquables dont on sait qu'elles convergent ?
Merci,

2- Suites de Fonctions :
Pour prouver la convergence simple, on fixe X=Xo. Et on majore le terme par un autre qui ne dépend plus de X mais que de N. C'est bien ça ?
Pour la convergence uniforme, on en fait l'hypothèse après avoir vu la convergence simple,
Ensuite suffit-il d'écrire que |fn(x) - limite| tend vers 0 ??
A savoir si Fn converge simplement vers 0 --> pour prouver la CV uniforme de Fn il suffirait de poser :

fn(x) tend vers 0, pour tout x finalement. Soit on peut donc majorer fn(x) par une fonction indépendante de x.
Soit dériver et calculer le maximum de fn(x).
Si ce maximum tend vers 0, alors la fonction converge forcément pour tout x, donc de manière uniforme vers 0.
Merci, Est-ce bien cela ???

3- Séries de Fonctions :
Ici il y a si je ne me trompe pas, la convergence simple, et la convergence normale.
Pour prouver que la convergence est simple, on peut utiliser la même chose qu'avant, à savoir fixer x comme égal à un certain réel Xo et majorer pour trouver une somme de Riemann.
Pour mettre en évidence la convergence normale, je ne sais pas comment faire. Auriez vous des conseils ?
Merci encore,

4- Séries Entières finalement :
Pour les séries entières, comment déterminer le rayon de convergence ? à part en calculant la limite et en exprimant R = 1/L. ???
Dans ce cas la limite est bien la limite de la série entière ? qui est une fonction ?

Egalement, il doit être possible de résoudre des équations différentielles à partir de l'étude d'une série entière ? Comment faire ?



Merci de vos réponses,
Cordialement,
SuprAlgebra.
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[gg0]

Bonjour.

1) Non. Relis ton cours pour voir de quoi on parle quand on parle de majoration par une série connue. Tous les mots comptent, y compris les titres de paragraphes.
D'autre part, en maths rien n'est obligatoire, saus d'appliquer des règles. Donc on ne "doit" jamais, mais on "peut", surtout si c'est l'application d'une règle et que ça aboutit à ce qu'on veut.
2) Pour la convergence simple, une fois fixé le x (ou le t si ce sont des fonctions de t), on a une série simple à étudier, par tous les moyens des séries simples. Il faudrait peut-être que tu commences à les apprendre (tu sembles avoir une seule idée, c'est trop peu !).
Pour la convergence uniforme, s'il n'y a pas convergence simple, c'est inutile d'en parler, effectivement. Ensuite, c'est généralement difficile de faire la preuve. Si on peut appliquer la définition (apprends-la) on le fait.
Je n'ai pas compris ton "on peut donc majorer fn(x) par une fonction indépendante de x." Rien à voir avec le sujet (mélange avec les séries simples à termes positifs ?).
3) Il y a aussi la convergence uniforme et la convergence absolue. La convergence absolue permet de justifier la convergence simple. la convergence normale est le moyen de prouver une convergence uniforme (utile pour les séries de fonctions continues, car on sait alors que la somme de la série est une fonction continue)
Pour mettre en évidence une convergence normale, il faut avoir une série simple qui convient. Donc on étudie la situation avec toutes ses connaissances et son intelligence. D'où l'intérêt de bien connaître les règles sur la convergence des séries simples (cours !!)
4) Si tu as eu un cours, tu as des outils. Un truc simple : Si la série converge pour z et diverge pour un autre complexe z' avec [z|=|z'|=R, alors R est le rayon de convergence. Pour le reste, apprends ton cours. Quant à ce que tu racontes sur la limite, c'est du n'importe quoi, des mots sortis de leurs contextes et mis bout à bout. Apprends ton cours ...

" il doit être possible de résoudre des équations différentielles à partir de l'étude d'une série entière " ?? En tout cas, on trouve des solutions d'équations différentielles en supposant que les solutions sont des séries entières, puis en remplaçant dans l'équation (définition de "solution", c'est assez évident).

En bilan : Un cours, ça s'apprend, et ainsi on sait vraiment de quoi on parle et comment appliquer les règles (puisqu'on les a apprises).

Cordialement.