Suites et séries de fonctions

[invitec13ffb79]

Bonjour,

J'ai quelques questions concernant l'étude de suites et séries de fonctions.

1°) En considérant la suite , , je cherche à savoir si elle converge uniformément sur .

J'ai déjà déterminé qu'elle convergeait simplement sur vers la fonction nulle. J'ai tenté une démarche pour montrer qu'elle ne convergeait pas uniformément, mais je ne suis pas certain que ce soit rigoureux: j'ai pris une suite telle que . Et alors, on remarque que , qui ne tend bien évidemment pas vers . Du coup, je pourrais être amené à conclure que la suite ne converge pas uniformément sur . Cependant, et c'est pourquoi je doute de mon raisonnement, la suite que j'ai choisie n'est pas définie pour ; or, l'énoncé dit bien qu'on prend sur l'ensemble des entiers naturels, inclus. Du coup, que pensez-vous de ma démarche?

2°) On considère à présent la suite , .
Je voudrais montrer que la série dont le terme général est converge simplement sur . Dans ce cas, je ne vois pas tellement comment procéder. Je sais que la série CVS si la limite de tend vers une fonction . On voit de plus qu'il s'agit d'une série alternée. Mais malgré ces infos, je ne vois pas comment partir...une idée peut-être?

Merci d'avance!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Cependant, et c'est pourquoi je doute de mon raisonnement, la suite que j'ai choisie n'est pas définie pour

Tu n'as qu'à rajouter dans la définition de ta suite...

On voit de plus qu'il s'agit d'une série alternée.

Peut-on utiliser le critère spécial pour les séries alternées ?
Peut-on obtenir une comparaison sympathique avec une série convergente ?

[invitec13ffb79]

Tu n'as qu'à rajouter dans la définition de ta suite...

n'est pas correct! Je ne peux pas rajouter ce que bon me semble...!

Peut-on utiliser le critère spécial pour les séries alternées ?
Peut-on obtenir une comparaison sympathique avec une série convergente ?

C'est vrai, je n'avais plus songé au cssa. Si je parviens à montrer que la suite décroit et tend vers 0, tout en étant de signe constant, alors ce sera bon.
Pour ce qui est d'une comparaison "sympathique".. Je pense aussi. En effet, je pense pouvoir montrer que la série converge absolument en comparant avec une série de Riemann, et ainsi en déduite la convergence simple.. non?

[invite57a1e779]

n'est pas correct! Je ne peux pas rajouter ce que bon me semble...!

Si, c'est ton privilège d'auteur de la définition de la suite : tu as le droit de faire absolument tout ce que bon te semble. Le seul truc, c'est qu'il vaut mieux faire quelque chose d'utile que d'inutile...


Si ton bon vouloir est de définir la suite par et si , personne ne peut t'en empêcher, même si la définition de paraît bien compliquée pour un intérêt fort mince, et que eût été tout aussi efficace avec plus de simplicité.

C'est vrai, je n'avais plus songé au cssa. Si je parviens à montrer que la suite décroit et tend vers 0, tout en étant de signe constant, alors ce sera bon.
Pour ce qui est d'une comparaison "sympathique".. Je pense aussi. En effet, je pense pouvoir montrer que la série converge absolument en comparant avec une série de Riemann, et ainsi en déduite la convergence simple.. non?

Oui, déduire la convergence simple de la convergence absolue après une comparaison avec une série de Riemann me semble une voie pleine de sagesse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec13ffb79]

Ok! Merci pour tes conseils!
Une dernière question, plus ou moins liée au sujet: dans la définition de la seconde suite, l'énoncé précise qu'elle est définit pour et . Mais qu'en est-il lorsqu'on se retrouve avec et ? Un problème à priori...à considérer?

[invite57a1e779]

C'est effectivement un petit problème...

Personnellement, je ferais remarquer que n'est pas définie pour et que, pour pouvoir étudier la série pour tout réel, je décide (ma liberté d'auteur de ma solution) d'étudier la série pour seulement : si l'on veut ajouter le terme en à la série, ce sera toujours possible sans changer la nature de la série, il suffira de modifier la somme, mais l'étude en 0 sera faite. Le choix inverse d'étudier la série définie pour tout entier , mais pour demanderait une nouvelle étude en si l'on voulait changer d'avis.

[invitec13ffb79]

Ok, je pense que j'écrirai ça dans ce cas. Merci de ton aide!