equation differentielle du 1er ordre

[invited5da176d]

Bonjour

Je doit trouver la solution d'une équation differentielle dont on me donne les conditions. elle est du type y'(t) - k(t)y(t) = Q avec k(t)= -3/1+t
Donc je connais la méthode qui consite a utiliser l'equation homogène puis solution particuliere pour trouver une solution générale.

Seulement mes 2 premieres solutions sont le la forme Ce^-kt et C(t)e^kt
* de maniere générale : j'ai constaté que dans ce solutions, on utilisais parfois kt et parfois la primitive de kt, comment savoir ? Cela dépend t-il de si la valeur de k est fonction de t ou non ?
* dans ce cas : si ici on décide d'avoir e^kt = e^-3t/1+t (sauf erreur de ma part) alors comment trouver la primitive de Qe^-3t/1+t ? Car dans ce dernier exemple j'en arrive a un resultat assez abérant ...

Merci, bonnes fetes
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas grand chose à ce que tu calcules.
l'équation homogène est y' -ky=0 et a pour intégrale générale où C est une constante et K est une primitive de k. Rien à voir avec ce que tu racontes pour l'instant.
Quant à avoir une solution particulière, ça dépend tellement de Q qu'il est difficile d'en parle sans savoiçs ce que c'est que ce Q.

Revois de plus près tes cours.

Cordialement.

[invited5da176d]

Bonsoir,
je me suis surement mal exprimée.

J'ai donc cette équation y'(t) - k(t)y(t) = Q avec k(t)= -3/1+t et Q est une constante positive (on se fiche de la valeur).

- Tout d'abord, avec l'équation homogene y' -ky=0 on trouve comme tu le dit y(t) = Ce^K(t) avec K primitive de k

- Puis on cherche une solution particuliere du type y(t) = C(t)e^K(t) , qui est solution si et seulement si
C'(t) = Qe^-K(t) Et on cherche C(t) la primitive de C'(t) (donc de Qe^-K(t) ) pour retrouver la forme souhaitée. K est toujours la primitive de k.

- A partir de ces deux resultats, on a les solutions de l'equations qui sont les
y(t) = Ce^K(t) + C(t)e^K(t)


Ces étapes sont la maniere de procéder indiquée dans mes cours.

Mon probleme est qu'il me faut la primitive de k(t), avec k = -3/1+t
mais je ne sais pas si je dois chercher une primitive de -3/1+t ou de -3t/1+t (car dans mes autres exercices, pour k = 3 par exemple, j'ai Ce^3t et non pas 3, mais cela viens peut etre de la primitive ? En fait je ne comprend pas si l'on cherche l'exponentielle de la primitive de k en fonction de t ou de k multiplié par t)
De plus, comment trouver cette primitive sans utiliser les integrales ?

j'espere avoir été un peu plus claire, je m'en sortais bien sur les equa diff jusqu'a cet exercice

merci

[gg0]

Ok.

Mais avoue que noter k une primitive de k n'est pas très intelligent !!!!

D'autre part, Tu as besoin, tu l'as dit de K(t), qui est une primitive de k(t). A part si tu mélanges avec la situation où k(t) est une constante et où le t apparait justement dans la primitive (primitive de 2 : 2t), il n'y a pas de t à rajouter !
Tu te compliques la vie à essayer d'imiter des exercices au lieu ici d'appliquer les règles : Tu cherche une primitive de k(t). primitive quasi évidente (cours de terminale), et qui va bien simplifier l'expression de ton y(t) = Ce^K(t) .

Une remarque de méthode : Tu aurais dû finir le travail sur les solutions de l'équation homogène (dont trouver K, remplacer, simplifier, avant de passer à la suite, la recherche soit d'une solution particulière (mais tu compliques la situation) soit directement de la solution générale :
On la cherche sous la forme y(t) = C(t)e^K(t)
En remplaçant (puisque c'est une solution !) dans l'équation différentielle, on obtient C'(t) = Qe^-K(t), qui donne de façon évidente C(t) est une primitive quelconque de Qe^-K(t) (que tu connais depuis la résolution finie de l'équation homogène.
Après, il ne reste plus qu'à remplacer c(t) par sa valeur dans y(t) = Ce^K(t).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5da176d]

D'autre part, Tu as besoin, tu l'as dit de K(t), qui est une primitive de k(t). A part si tu mélanges avec la situation où k(t) est une constante et où le t apparait justement dans la primitive (primitive de 2 : 2t), il n'y a pas de t à rajouter !

En effet c'est cela que je confondais, merci beaucoup :/

Je vais essayer avec cette méthode, peut etre que ca me paraitra plus simple !

merci beaucoup