(z+i)^n+(z-i)^n

[inviteda214a74]

Pour un entier naturel n>1, resoudre l'equation d'inconnue z complexe (z+i)^n+(z-i)^n=0

j'ai essayé de remplacer z par a+ib mais je ne parvient pas à reoudre cette equation.
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[gg0]

Bonjour.

Cette équation se ramène facilement à Z^n=-1 avec Z=(z+i)/(z-i), donc à la recherche de racines n-iémes de -1.

Bon travail !

[inviteda214a74]

Bonsoir gg0, si j'ai bien compris je dois rechercher les racines n-iemes de -1 c'est donc eîpi ,eî pi/3 et e^-i pi/3
Cependant je n'arrive à ramener Z au racine n ieme

[PlaneteF]

Annulé : mal lu

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

bonsoir

donc
revient à

y'a plus qu'à lister les solutions pour k allant de 0 à n-1, pour avoir les n solutions entre [0;2pi[

ps: tu compliques un peu en les cherchant entre -pi et pi

[gg0]

Bonsoir gg0, si j'ai bien compris je dois rechercher les racines n-iemes de -1 c'est donc eîpi ,eî pi/3 et e^-i pi/3
Cependant je n'arrive à ramener Z au racine n ieme

Non, les racines n-ièmes ne sont pas ce que tu dis.
Quant à la transformation nécessaire, c'est l'application des règles de calcul qu'on voit au collège : "passer" un terme d'un membre à l'autre, diviser les deux membres par un même nombre non nul ...

pour l'instant, tu n'as rien produit, rien montré de tes calculs, on ne va quand même pas faire l'exercice à ta place !!!

[inviteda214a74]

est ce qu'il yai pas un rapport avec 1-w^n/1-w ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

1-w^n/1-w ?

Là tu viens d'écrire :

Cordialement

[gg0]

Je n'ai rien compris à ton message #7. Chercherais-tu à imiter un autre exercice qu lieu d'essayer de traiter celui-ci ?
Mais (niveau troisième) :


Comme z=i n'est pas solution, (z-i)^n n'est pas nul, on peut diviser les deux membres par (z-i)^n. La suite est encore du niveau quatrième, et on arrive bien à une puissance n-ième égale à -1.
On applique ensuite les techniques de base, par exemple poser et utiliser la remarque d'Ansset.