Exercices sur les DL

[KINDERMAXI]

Bonjour,

Je me permets de poster ici car j'ai un petit problème avec un exercice. Le voici :

On considère la fonction .

1) Préciser l’ensemble de définition D de f.
2) La fonction f est-elle continue sur D ? dérivable sur D ?
3) Donner le tableau de variation de f (Indication : on pourra étudier le signe de g(x) = f(x)/x).
4) La droite y = x − 1 est-elle asymptote à la représentation graphique de f en +∞ ? Si oui peut-on préciser la position de y = x − 1 par rapport à la courbe ?

Pour la 1) et la 2) c'est bon. Pour la 3 j'ai un petit soucis. D'un côté j'avais commencé à vouloir étudier le signe f'(x), sauf que je trouve :


Et je suis un peu bloquée. De l'autre côté j'ai suivi l'indication et ait donc étudié le signe de f(x)/x, et je trouve :
g(x) >= 0 si x appartient à ]-inf;-1[U[0;+inf[ et g(x) < 0 si x appartient à ]-1;0]. Mais en quoi le signe de f(x)/x va pouvoir m'aider à trouver les variations de f(x) ?

Pour la 4 aussi j'ai un soucis, j'ai voulu calculer la limite f(x)-(x-1) donc la limite quand x tend vers +inf de , donc je pensais que ça se faisait avec les équivalents mais j'ai essayé plusieurs choses et j'ai un doute. J'ai notamment essayé de dire :
lim 1/(1+x) = 0 quand x tend vers +inf et comme arctan(x) ~ x en 0, on a par composition à droite : arctan(1/(1+x)) ~ 1/(1+x) en +infini.

Donc x^2arctan(1/(1+x)) ~ x^2/(1+x) ~ x en 0.

Mais après si je continue j'ai :
x^2arctan(1/(1+x)) = x +o(x) et x+1 = x + o(x) +inf. Donc :
lim f(x) = lim x - lim x = 0.

Mais est-ce que c'est vraiment "propre" ? Ca me semble un peu bidouillé...

Merci d'avance de répondre à ces petites questions !

Bonne journée !
-----

[gg0]

Bonjour.

je n'ai pas tout regardé en détail, mais si tu connais le signe de f(x)/x, comme tu connais celui de x ...

Cordialement.

[KINDERMAXI]

Ca fait que je connais le signe de f(x), mais à moins que je passe totalement à côté, j'ai toujours pas compris en quoi ça me donne les variations de f(x)...

[gg0]

Désolé,

j'étais inattentif !

Comme g(x) apparaît dans f'(x), tu connais le signe de f' sur ]-1,0]. Je n'ai pas d'autre idée. simplement, vu la courbe de f', elle semble être positive ailleurs.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Pour l'asymptote, vous n'avez pas encore démontré que la limite de f(x) est x - UN.
il faut aller un cran plus loin dans les developpements limités pour le retrouver. En particulier il faut exprimer 1/(x+1) en fonction de 1/x et 1/x²
Mais cela ne suffit pas, car il pourrait y avoir un second terme en 1/x² venant du développement limité de Arctan
Le DL de Arctan(y) quand y tend vers zero est y-y^3/3 +o(y^3) (pas de terme en y²). On se rend alors compte (mais il faut faire le calcul pour que le prof voit que vous y avez pensé) que le terme en 1/x² ne contient que celui qui vient de la fraction 1/(x+1), ce qui ensuite, multiplié par x² donnera le terme cherché...
D'ailleurs, pour la question suivante, le plus simple d'aller encore un cran plus loin pour voir quel est la position par rapport à l'asymptote et là vous aurez besoin de tout traiter jusqu'à 1/x^3

[KINDERMAXI]

Super, pour cette dernière question c'est bon !

Maintenant, le seul truc que je comprends toujours pas, c'est pour le tableau de variation de f. Comme gg0 l'a dis, on a le signe sur ]-1;0] de f' mais pour le reste, j'arrive pas à démontrer de façon rigoureuse que f' est positive !

[gg0]

Une idée :

Pour x>0, on trouve le signe de f'. Reste le cas x<-1.

Cordialement