Bonjour,
Je me permets de poster ici car j'ai un petit problème avec un exercice. Le voici :
On considère la fonction.
1) Préciser l’ensemble de définition D de f.
2) La fonction f est-elle continue sur D ? dérivable sur D ?
3) Donner le tableau de variation de f (Indication : on pourra étudier le signe de g(x) = f(x)/x).
4) La droite y = x − 1 est-elle asymptote à la représentation graphique de f en +∞ ? Si oui peut-on préciser la position de y = x − 1 par rapport à la courbe ?
Pour la 1) et la 2) c'est bon. Pour la 3 j'ai un petit soucis. D'un côté j'avais commencé à vouloir étudier le signe f'(x), sauf que je trouve :
Et je suis un peu bloquée. De l'autre côté j'ai suivi l'indication et ait donc étudié le signe de f(x)/x, et je trouve :
g(x) >= 0 si x appartient à ]-inf;-1[U[0;+inf[ et g(x) < 0 si x appartient à ]-1;0]. Mais en quoi le signe de f(x)/x va pouvoir m'aider à trouver les variations de f(x) ?
Pour la 4 aussi j'ai un soucis, j'ai voulu calculer la limite f(x)-(x-1) donc la limite quand x tend vers +inf de, donc je pensais que ça se faisait avec les équivalents mais j'ai essayé plusieurs choses et j'ai un doute. J'ai notamment essayé de dire :
lim 1/(1+x) = 0 quand x tend vers +inf et comme arctan(x) ~ x en 0, on a par composition à droite : arctan(1/(1+x)) ~ 1/(1+x) en +infini.
Donc x^2arctan(1/(1+x)) ~ x^2/(1+x) ~ x en 0.
Mais après si je continue j'ai :
x^2arctan(1/(1+x)) = x +o(x) et x+1 = x + o(x) +inf. Donc :
lim f(x) = lim x - lim x = 0.
Mais est-ce que c'est vraiment "propre" ? Ca me semble un peu bidouillé...
Merci d'avance de répondre à ces petites questions !
Bonne journée !![]()
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