Bonjour,
j'ai beaucoup de difficulté à prouver cet exercice. Notamment la preservation de l'opération ϕ(ab)=ϕ(a).ϕ(b)
Voici l'exercice :
Soit H un sous groupe de toutes les rotations de Dn (le groupe diédral).
Soit ϕ un automorphisme de Dn.
Prouver que ϕ(H) = H
J'ai réussi à prouver que ϕ et H ont le même ordre. J'en déduis que phi est injective. De plus, H est fini donc phi est surjective aussi. MAis comment je prouve : ϕ(ab)=ϕ(a).ϕ(b) pour tout a,b dans H ?
Merci de votre aide !
Claire
Bonjour,
Dans la mesure où cette formule est vraie pour tous les a, b dans Dn et que H est inclus dans Dn ...Envoyé par clairehd
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Attention : la question posée par clairehd (et à laquelle Mediat a répondu) ne permet pas de conclure sur la démonstration demandée
Ce qu'il faut démontrer, c'est que si a appartient à H, phi(a) appartient aussi à H. Pour un automorphisme quelconque d'un groupe quelconque, cela peut être faux.
Il faut exploiter le fait que c'est le groupe diedral : on peut soit s'interroger sur le nombre de sous-groupes de même cardinal, soit repartir des générateurs et relations, soit utiliser sa construction comme un produit semidirect de Cn et C2 (tout dépend de ce que vous avez déjà vu en cours sur ces groupes)
Dernière modification par Resartus ; 05/10/2016 à 09h35.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
pour un automorphisme ce n'est pas étonnant...
Si j'ai bien compris, je dois prouver que les ordres de phi et de H sont identiques ?
L'ordre de Dn est 2n. Sachant que H est le sous groupe des rotations, son ordre est n (je ne sais pas comment le démontrer, je l'ai trouvé parce que c'est écrit dans un exercice). Comment puis-je prouver que l'ordre de phi (H) est aussi n ? Est-ce parce que phi est un automorphisme qui prend ses antécédents dans H ?
Bonjour,
Je croyais que quand vous écriviez phi tout court, c'était une faute de frappe, mais je crains que ce ne soit une erreur plus profonde
Phi n'a pas d"ordre", il est unique. c'est l'un des quelques automorphismes qui peuvent s'appliquer au groupe D2n.
Comme c'est un automorphisme, il résulte de la DEFINITION d'un automorphisme que c'est un isomorphisme et donc que l'ordre de phi(H) est l'ordre de H (cela , c'est du cours, et je ne crois pas qu'on vous demande de le redémontrer). Par ailleurs tout isomorphisme, par définition aussi, conserve la structure, donc phi transforme le sous-groupe H en un autre sous-groupe de d2n, de même ordre que H.
Toute la difficulté est de montrer que c'est en réalité LE MEME H. S'il n'existe qu'un seul sous groupe de D2N de cardinal n, c'est gagné...
Après, je ne sais pas ce que vous êtes censée connaitre déjà sur D2n. Mais le fait que vous ne sachiez pas que D2n contient un (le...) sous-groupe de rotations Cn m'inquiéte, car c'est évidemment là qu'est la réponse
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Merci pour votre réponse, je comprends mieux mes erreurs et je vois que je vais devoir revoir mes cours pour mieux connaître la notion.
"Toute la difficulté est de montrer que c'est en réalité LE MEME H. S'il n'existe qu'un seul sous groupe de D2N de cardinal n, c'est gagné... "
J'ai pensé au théorème fondamentale des groupes cycliques mais je n'arrive pas à démontrer que D2n est cyclique puisqu'il a deux générateurs la rotation et la réflection.
Comment puis je savoir que P(H) est H ? Comment prouver que la transformation par phi ne peut donner d'élément dans G qui ne sont pas dans H.
Bonjour,
D2n* n'est évidemment pas cyclique, puisqu'il y a aussi des réflexions, mais si vous pouvez supposer connu qu'il existe dans H un élément d'ordre n qu'on peut appeler a, il permet de construire directement ce groupe cyclique, qui est donc Cn et est un sous groupe d'ordre n de D2n comme demandé.
Ensuite, il faut s'interroger sur l'image de ce générateur phi(a). Quel est son ordre? Donc on peut construire un groupe cyclique d'ordre n à partir de cet élément et c'est phi(Cn).
Dernières étapes (que vous avez peut-être déjà vu en cours, mais je les rappelle) : s'il existe un élément commun autre que e entre les deux groupes cycliques de même ordre, que peut-on conclure?
Et est-il possible au vu des cardinaux respectifs de D2n, de Cn et de Phi(Cn) que Phi(Cn) n'ait aucun élément commun avec Cn sauf e?
*Je m'aperçois que j'ai appelé D2n le groupe diédral à 2n éléments que vous appelez Dn mais c'est bien le même. Juste une question de convention
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
C'est possible que les conventions soient différentes car j'étudie aux Etats-Unis. Désolé pour les difficultés à me faire comprendre en maths en français.
Merci pour votre réponse, cela m'a bien aidé.
