automorphisme de Mn(R)

[invite20890e0d]

Bonsoir à tous,
Je bloques sur la fin de l'exercice suivant :
Soit f un automorphisme de Mn(R) tel que pour toutes matrices A et B f(AB)=f(A)f(B) et f(In)=In
1) Montrer que M inversible équivaut à f(M)inversible (là pas de problème)
2 montrer que Sp(M)=Sp(f(M)) (là toujours pas de problème)
3) soit D=diag(1,2,3,...,n) on suppose que f(D)=D montrer alors que f est l'identité

j'ai voulu me placer sur la base Eij pour montrer que f(Eij)=Eij mais pour l'instant j'ai seulement f(Eii)=Eii et f(Eij)= aij Eij
il ne me reste plus qu'à montrer que aij=1 mais je n'y arrives pas (je n'ai pas utilisé les questions précédentes et ça m'étonnes ...)
merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

En taille 2, la matrice doit avoir même spectre que son image par f.
La considération de tels exemples (à aménager en taille n) va donner des relations sur les coefficients a_ij.
La relation f(AB)=f(A)f(B) utilisé lorsque A et B sont des matrices de la base E _ij doit également fournir des relations intéressantes sur les a_ij.
Je n'ai pas examiné les détails, mais on doit pouvoir conclure.

[invite20890e0d]

Pour l'instant j'ai juste fais f(Eij)f(Eji) pour obtenir aji aij=1
Effectivement on peut obtenir plein de relations mais bon je cherchais un moyen disons moins calculatoire ou en tout cas peut être y a t il mieux comme relations fournissant le résultat mais je n'en vois pas de simples ...