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Automorphisme de R et continuité



  1. #1
    Seth.

    Automorphisme de R et continuité


    ------

    Bonsoir!

    Soit Phi de R dans R, un automorphisme de corps.
    On cherche à montrer que Phi est forcement l'application identité.
    Pour cela il me faudrait la continuité de Phi pour passer des rationnels aux réels, mais je ne sais pas si je l'ai !
    Sinon comment faire autrement ?

    Merci de votre aide...

    -----

  2. #2
    G13

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Bonjour,

    Il faut montrer que phi est croissante. Pour cela tu peux montrer que phi(x)>0 si x>0.

  3. #3
    rhomuald

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Bonsoir,

    tu peux montrer qu'elle est croissante.

  4. #4
    Médiat

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Citation Envoyé par rhomuald & G13
    tu peux montrer qu'elle est croissante.
    Il s'agit d'un automorphisme de corps, donc avant de montrer que l'autmorphisme est croissant, il faut montrer que la relation d'ordre est définissable sur IR dans le langage des corps (trivial, mais nécessaire).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Seth.

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Merci de vos réponses.

    Comment je peux démontrer que cette application est croissante?
    Pour l'instant je sais seulement que sa restriction à Q est l'identité.

    Et apres je ne vois pas bien en quoi la croissance me donnera la continuité...

  7. #6
    G13

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Indication pour montrer que phi(x)>0, si x>0: tout élément de R positif est un carré.

  8. #7
    rhomuald

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il s'agit d'un automorphisme de corps, donc avant de montrer que l'autmorphisme est croissant, il faut montrer que la relation d'ordre est définissable sur IR dans le langage des corps (trivial, mais nécessaire).
    J'ai pas bien saisi ce que tu voulais dire, médiat. Je parlais de la relation d'ordre usuelle de IR.

  9. #8
    Médiat

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    J'ai pas bien saisi ce que tu voulais dire, médiat. Je parlais de la relation d'ordre usuelle de IR.
    Bien sur, mais la question porte sur un automorphisme de corps, pas un automorphisme croissant, d'ailleurs tu as l'air d'accord que l'on ne peut pas utiliser la continuité de cet automorphisme, car il n'est pas demandé que un automorphisme continu. L'automorphisme de corps ne "transporte" que les opérations du langage des corps, donc ni la relation d'ordre, ni la topologie, ni rien d'autre.

    La-dessus, il est trivial que cette relation d'ordre est définissable dans IR avec le langage des corps, donc ça va marcher, mais ne pas le dire serait, pour moi, une erreur de rédaction.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #9
    rhomuald

    Re : Automorphisme de R et continuité

    ok, je crois que j'ai saisi la nuance, je voulais dire qu'on peut montrer que phi est croissante en tant que fonction de IR dans IR, pas en tant qu'automorphisme de IR.

  11. #10
    Ksilver

    Re : Automorphisme de R et continuité

    je ne sais pas si utilisé le vocabulaire de théorie de langugages dans un exos de spé soit une bonne idée de rédaction

    on peut juste dire que :

    Soit x un réel positif, alors x est un carré : x=a^2, donc phi(x)=phi(a^2)=phi(a)^2 est aussi positif.

    à partir de la si x>=y, x-y>=0, donc Phi(x-y)>=0 et donc Phi(x)>=Phi(y) : phi est croissant !


    pour en déduire que phi(x)=x, la monotonie va remplacer la continuité : par exemple tu peux montrer que l'ensemble des rationelle >x et l'ensemble des rationelle > phi(x) vont etre les memes... ce qui prouvera que x=phi(x)

  12. #11
    Médiat

    Re : Automorphisme de R et continuité

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Soit x un réel positif, alors x est un carré : x=a^2, donc phi(x)=phi(a^2)=phi(a)^2 est aussi positif.

    à partir de la si x>=y, x-y>=0, donc Phi(x-y)>=0 et donc Phi(x)>=Phi(y) : phi est croissant !
    C'est à dire que tu utilises que

    c'est à dire la définition de la relation d'ordre naturelle sur IR pour le langage des corps.

    Et j'avoue que je ne vois pas comment évacuer ce détail quand la question est bien "Soit Phi de R dans R, un automorphisme de corps" ; ce qui me chiffonne c'est d'accepter que la topologie de IR ne soit pas a priori porté par un automorphisme, mais que la relation d'ordre devrait l'être.

    Il est vrai que la rédaction dépend du niveau, et que je me suis plus placé dans le cadre de quelqu'un qui voudrait bien comprendre les subtilités des automorphismes plutôt que dans le cadre d'un devoir à rendre
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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