automorphisme

[inviteab2b41c6]

Salut,
je suis amené à trouver les automorphismes d'anneau de Z[X].

J'ai réussi à montrer que si f est un tel automorphisme, sa restriction à Z était l'identité. C'est pas très difficile.

Ensuite j'ai montré que pour tout polynôme P, on avait f(P)=P(f(X)), ce qui n'est pas non plus difficile.
Enfin j'ai réussi à montrer que
f(X)=+ou-X + b
où b est un entier relatif quelconque.
Mais je n'arrive pas à conclure, j'ai l'impression que je peux encore affiner mes recherches.
Est ce vrai?
J'ai essayé de voir ce qui se passait avec des polynomes du second degré et je n'ai rien appris de plus.
Notons qu'un polynome du n ieme degré a toujours son image qui est un polynome du n ieme degré...

Si quelqu'un avait une piste, ca m'arrangerait bien, parce que je ne sais pas si j'ai tout trouvé ou "trop" trouvé.
En fait, d'instinct, j'aurai eu envie de dire qu'il n'y avait que l'identité qui marchait...
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[invite4793db90]

Salut,

Z[X] a le bon goût d'être engendré par 1 et X (comme Z-module). Du coup, si f est un automorphisme de Z[X], il suffit de regarder les images de 1 et de X car:
f(a_nXⁿ+...+a₁X+a₀)=a_nf(X)ⁿ+...+a₁f(X)+a₀f(1).

[inviteca3a9be7]

Salut Quinto,


Ben, je crois bien que tu les as tous maintenant, c'est les "décalages" :
P(x) -> P(+-X + a)

[inviteab2b41c6]

Salut,
merci beaucoup a vous 2.
Je ne sais pas d'ou venait ma tentation, mais effectivement les décalages fonctionnent.
En fait je sais que c'etait faux, mais j'etais tellement tenté de remplacer X par une valeur réelle, que ca me perturbait dans ma démarche.
Merci beaucoup, tout est plus limpide ainsi.

[A voir en vidéo sur Futura]