Comment démontrer que 2 segments de longueurs différentes ont même nombre de points ?

[andretou]

Bonjour tout le monde
Je n'arrive pas à comprendre comment Cantor a démontré ce résultat...
Pouvez-vous svp m'aider ?
Merci pour vos réponses
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[gg0]

Bonjour.

C'est facile, et connu depuis bien avant Cantor. D'abord une rectification, ils n'ont pas le même nombre de points, mais le même cardinal : Ils sont en bijection (ils n'ont pas un nombre fini de points).

Ensuite, à une rotation près (qui ne change pas le cardinal), on peut les supposer parallèles. Si les segments sont [AB] et [CD], soit O l'intersection de (AD) et (BC). L'application qui à chaque point M de [AB] associe le point N de [CD], intersection de (OM) et (CD) est une bijection (je te laisse le soin de la preuve).

Cordialement.

Remarque : Encore une fois, l'emploi d'un vocabulaire d'article de journaliste à la place du vocabulaire mathématique complique la réalité.

[ansset]

Cantor ne l'a pas "démontré" , il en a émis l'hypothèse , hypothèse qui a donné lieu ( ou été renommée ) hypothèse du continu, non démontrable dans ZF seul.
Ce qui a donné lieu à l'extention ZFC , en rajoutant cette hypothèse en axiome.
mais il est fort probable que mon résumé soit incomplet ( donc faux ) et mérite d'être corrigé ou complété par plus compétent que moi.

ps : d'où les "nouvelles" notions ( pour l'époque ) d'ordinaux et de cardinaux dont parle gg0.

[PlaneteF]

Bonjour,

Cantor ne l'a pas "démontré" , il en a émis l'hypothèse , hypothèse qui a donné lieu ( ou été renommée ) hypothèse du continu, non démontrable dans ZF seul.
Ce qui a donné lieu à l'extention ZFC , en rajoutant cette hypothèse en axiome.
mais il est fort probable que mon résumé soit incomplet ( donc faux ) et mérite d'être corrigé ou complété par plus compétent que moi.

Non ansset, cela n'a rien à voir avec l'hypothèse du continue. Ici il s'agit d'exhiber une bijection comme par exemple entre et où tu peux prendre tout simplement

ps : d'où les "nouvelles" notions ( pour l'époque ) d'ordinaux et de cardinaux dont parle gg0.

Il en parle où ? ... Il parle du cardinal d'un ensemble et du fait que deux ensembles ont le même cardinal si et seulement il existe une bijection entre ces deux ensembles.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

OK, j'avais mal saisi la question initiale.
c'est le mot "cardinal" cité avant qui m'a mis sur une mauvaise interprétation de la question.

[ansset]

l'autre point est que la question parle de "même nombre d'éléments" , donc utilise le mot "nombre" pour un ensemble infini.
ce qui a participé aussi à ma remarque.

[andretou]

Bonjour.

C'est facile, et connu depuis bien avant Cantor.

Merci pour ton explication très claire !
Aurais-tu éventuellement des précisions sur l'historique de cette idée ? Par qui a-t-elle été exprimée en premier ?

[minushabens]

Je cite Bourbaki (Elements d'histoire des mathématiques): "Un premier germe de la notion générale d'équipotence apparaît dans une remarque de Galilée : il observe que l'application n -> n^2 établit une correspondance biunivoque entre les entiers naturels et leurs carrés et par suite que l'axiome "le tout est plus grand que la partie" ne saurait s'appliquer aux ensembles infinis."

[Médiat]

Bonsoir,

En tout état de cause, ce que Cantor a démontré c'est l'existence d'une bijection entre un segment et un carré, il a même écrit "Je le vois, mais je ne le crois pas" à Dedekind ("je le vois" à comprendre comme "j'en ai la preuve")

[gg0]

Merci pour ton explication très claire !
Aurais-tu éventuellement des précisions sur l'historique de cette idée ? Par qui a-t-elle été exprimée en premier ?

Je n'ai pas de références explicite, mais ce genre d'idée a incité les grecs anciens à rejeter la notion d'infini actuel et à se méfier des nombres irrationnels. Ce qui fait qu'il y a deux théories des proportions dans les "éléments" d'Euclide, et une construction très compliquée des rapports de nombres et de grandeurs.
Mais en tout cas, on sait depuis 2500 ans projeter (projection centrale) un segment sur un segment plus grand ou faire des homothéties.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonsoir
Pardon d'intervenir dans ce débat, mais tout est basé sur le fait (ou le principe) qu'un point est un objet. Or un point est une localisation qui n'a d'existence que par rapport au référentiel utilisé. Il n'en est pas de même pour une droite qui pourrait avoir comme définition : une partition du plan. Deux segments différents ont deux longueurs différentes, c'est à dire un nombre différent d'un multiple de l'unité de base. Il ne contiennent aucun point, par contre ils constituent le lieu géométrique des points (ie localisation, groupe XY etc.) qui répondent au référentiel dans le quel on se situe.
Ceci est ma perception de la géométrie.
Je me souviens de la colère de mon prof de math quand on lui imposé de dire dans les définitions "ensemble des points ..." au lieu de "lieu géométrique des points ...". De mémoire, très vite les instructions ont changé, probablement pour pas très longtemps.
Bonne soirée.

[PrRou_]

Bonjour
Oui il est bon de rappeler les définitions des objets.
Précisons tout de même que les points, les droites, etc., n'ont besoin d'aucun référentiel pour être définis mathématiquement.
Rappelons que les droites (géométrie euclidienne) contiennent des points. Idem pour les segments.

[ansset]

je revient sur un point:
il convient, je pense de distinguer la notion générale de bijection avec celle de "nombres de points". ( expression clef du titre )
et c'est là ou Cantor a ajouté un concept qui n'existait pas.
je cites wiki pour ne pas me fatiguer :

Il est facile de montrer que si deux ensembles finis sont en bijection alors ils ont le même nombre d'éléments. L'extension de cette équivalence aux ensembles infinis a mené au concept de cardinal d’un ensemble, et à distinguer différentes tailles d’ensembles infinis, qui sont des classes d'équivalence d'ensembles en bijection (on parle aussi d'équipotence).

donc comme le rappelle gg0, si la notion de bijection est très ancienne, pour autant son prolongement ( nombre devenu cardinal ) pour les ensembles infinis date bien de Cantor.

[minushabens]

Toujours d'après Bourbaki, c'est Bolzano qui en 1851 a défini la notion d'équipotence et qui a démontré que deux intervalles compactes de R étaient équipotents. C'était 20 ans avant Cantor (et donc je suppose que Bolzano avait une définition à lui de la notion d'ensemble). Mais la notion de cardinal est bien due à Cantor.

[andretou]

Toujours d'après Bourbaki, c'est Bolzano qui en 1851 a défini la notion d'équipotence et qui a démontré que deux intervalles compactes de R étaient équipotents.

Par "intervalle compacte" peut-on aussi comprendre une droite (infinie), puisque selon le procédé indiqué par gg0 on peut établir une bijection entre un segment et une droite ?

[gg0]

Une droite n'est pas un intervalle compact, même si elle peut être en bijection avec un intervalle compact. Ne pas confondre les notations purement ensemblistes (cardinal, bijection) avec les propriétés topologiques (intervalle, compact).

Il est beaucoup plus compliqué d'exhiber une bijection de [0,1] dans R que de présenter une bijection entre deux intervalles de même type (tous deux ouverts, ou tous deux fermés). mais à partir du moment où ils ont le même cardinal, on sait qu'il en existe.

Cordialement.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Je voudrais juste noter que tout ce qu'on peut appeler "démonstration" dans ce domaine est basé sur la notion d'infini, de cardinal. C'est une théorie, certainement très utile, mais il me semble utile de le rappeler à chaque fois, par exemple avec des expressions du genre "soit ..." ou "étant donné".
Dans la réalité, l'infini n'existe pas, on peut tendre vers l'infini, mais pas plus. Par ailleurs, on parle aussi de point, il me semblerait bon d'en donner une définition.
Je connais la définition qu'on peut lire ici et là : "une droite est un ensemble de points ...". La définition du point me parait indispensable.

[PrRou_]

Dans ce domaine, comme dans tous les autres, les démonstrations sont basées sur les mêmes principes de logique.
Rares sont les mathématiciens qui n'acceptent pas la notion d'ensembles infinis : cela facilite beaucoup de raisonnements.
La définition d'un point est dans tous les bouquins de mathématiques ! Par définition, un point est un élément d'un espace affine, ou d'un espace projectif, d'un espace topologique, etc.
Mais bon, la discussion n'a rien à voir avec tout ça....