exercice: application trilinéaire et alternée

[invite4f66d0b1]

Bonjour ,
j'ai un exercice à faire, mais je doute de ma réponse .
voici l'énoncé:

"Soit n >= 1,
E = K^n vu comme K-espace vectoriel.
Soit (X1,..,Xn) une famille de vecteur de E (de cardinal n) alors :
(X1,..Xn) libre (X1,..Xn) génératrice (X1,..Xn) base.
1. Soit {Y1, Y2, Y3} une famille de E qui n'est pas une base et f: ExExE -> K une application trilinéaire alternée. Montrez que f(Y1,Y2,Y3)=0. "

selon l'énoncé on peut dire que{Y1, Y2, Y3} est liée (n'est ce pas??!!)
donc il existe a, b tq Y1=aY2+bY3
ou il existe s, t tq Y2=sY1+tY3
ou il existe u, v tq Y3=uY1+vY2
pour chaque cas j'étulise la linéarité de f
par expl: f(Y1,Y2,Y3)= f(aY2+bY3,Y2,Y3)=af(Y2,Y2,Y3)+ bf(Y3,Y2,Y3)=0 (car f est alternée)
mais (si par hasard ma réponse est correcte ) à quoi sert (X1,....Xn) base de E!!!!,??

merci d'avance pour votre aide ^^
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[Resartus]

Bonjour,

Effectivement, si la famille n'est pas libre, votre démonstration s'applique.

Mais l'énoncé tel qu'écrit est erroné, car "base" désigne une famille qui doit être à la fois libre ET génératrice

Dans un espace de dimension supérieure à 3, une famille de trois vecteurs pourra donc très bien être libre et ce ne sera pas pour autant une base.

Qui a rédigé cet exercice? j'espère que ce n'est pas dans un livre, car cela me semble une faute plutôt grossière...

[invite4f66d0b1]

bon :/ c'est l'un des exercices d'un polycopié!!

{Y1,Y2,Y3} une famille de E qui n'est pas une base donc elle peut etre ((liée et génératrice) ou (libre mais pas génératrice) ou(ni libre ni génératrice) si c'est le cas, dois-je traiter les deux derniers??
d'autre part "(X1,...,Xn)une base de E" comme étant une donnée je pense qu' on doit l'utiliser pour trouver la démonstration juste n'est ce pas?? -_-'

merci pour votre réponse

[Resartus]

Bonjour,
Il n'y a rien de plus à traiter. Soit la famille est libre et le résultat est faux, soit elle est liée, et votre démonstration est juste
Or l'énoncé ne demande pas "dans quel cas a-t'on f=0", mais demande de démontrer que f=0.

Cela ne peut donc être qu'une erreur d'énoncé. Malgré la forte tentation de traiter l'auteur de tous les noms, on va être gentil et supposer qu'il voulait écrire "n'est pas libre" et que sa langue(plume) a fourché...

Et les X1 à Xn ne changent rien à l'affaire et je confirme qu'ils ne servent à rien dans cette question. Mais ii doit bien y avoir d'autres questions, sinon pourquoi un numéro 1?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4f66d0b1]

Bonjour,
merci infiniment pour votre aide

effectivement, je pense que l'énoncé est mal rédigé

pour le (1) on va être gentil une deuxième fois et supposer que c'était une erreur de frappe