Serie et transformé de Fourier de 1+cos⁡x+sin⁡2x

[invitee2e0d0d9]

Bonjour,

Pourriez vous m'aider à calculer la serie et transformé de fourier de cette fonction 1+cos⁡x+sin⁡2x je suis vraiment bloqué.

Voici les resultats que j'ai pu obtenir pour la serie de fourier et les pistes que je penses avoir pour la transformé.

Pour la serie de Fourier je trouve les resultats par identification en utilisant la definition de la serie de Fourier :

(a0)/2+∑[1 à ∞] (an *cos(⁡nωx)+bn*sin(⁡nωx))

Ainsi :
a0 = 2
a1 = 1
b2 = 1

Pour la transformé de Fourier, je pense qu'il faut utiliser la formule generale :
F(f)(s) = ∫[-∞ à +∞] f(t)*exp(-i2πst) dt
ce qui donne alors
F(f)(s) = ∫ [-∞ à +∞] (1+cos⁡t+sin⁡2t)*exp(-i2πst)dt

Ensuite, il faut on peut decomposer la transformé comme ci-dessous :
∫ [-∞ à +∞] exp(-i2πst)dt
∫ [-∞ à +∞] cos⁡t * exp(-i2πst)dt
∫ [-∞ à +∞] sin2⁡t * exp(-i2πst)dt

C'est maintenant que je bloque, pour les 2 premieres normalement pas de probleme. Cependant pour la derniere, je ne sais vraiment pas par ou commencer.
Je pense qu'il faut effectuer un changement d'echelle pour la calculer F(f(ωt)) : s --> (1/ω)F(f)(s/ω)
De plus je ne sais pas s'il vaut mieux convertir l'exponentielle en ecriture trigo ce qui donnerait exp(-i2πst) = cos(2πst) - isin(2πst) afin d'obtenir plus facilement la transformé.
Ensuite je sais que le resultat de la transformé ne sera que l'imaginaire et pas le reel car nous sommes sur un sinus.

J'espere avoir été clair et vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
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[invite23cdddab]

Pour la transformée de Fourier, ta fonction n'est pas intégrable, donc premièrement, tu ne peux pas utiliser "la formule générale".

Ensuite, le seul moyen de donner un sens à la transformée de Fourier d'une telle fonction, c'est de considérer la transformée de Fourier au sens des distributions. On trouve alors que c'est une somme de Dirac