e^[ln(x)i] = ?

[jean-marc6999]

Bonsoir,

Est-il possible de réécrire ?

e^ln(x)i = xⁱ

merci
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[gg0]

Bonjour.

A priori, ce n'est qu'une extension aux complexes de la formule habituelle pour les réels :

pour a strictement positif.
Mais ça n'a pas vraiment d'intérêt, car on va être tenté d'appliquer à xⁱ les règles habituelles des puissances, et ça ne marche pas bien. Parce que, par exemple :

et donc la fonction x-->xⁱ est une fonction qui prend une infinité de fois la même valeur. Il va être difficile de manipuler ensuite ce nombre. Impossible de revenir à x si on sait la valeur de xⁱ.
A priori, les matheux n'utilisent pas ce genre de notation inutile, se contentent d'utiliser les exponentielles complexes et de bien se souvenir que x-->e^ix est une fonction périodique (e^ix=cos(x)+i sin(x)) de période .

Donc à moins que ce soit un raccourci très utile, inutile de perdre du temps avec ça.

Cordialement.

[jean-marc6999]

Merci pour ta réponse !

Bon week-end

[stefjm]

Bonjour,
Le logarithme complexe étend sous conditions la notion le logarithme réel.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jean-marc6999]

Ok merci pour la référence
Bon WE

[stefjm]

Bonjour.

A priori, ce n'est qu'une extension aux complexes de la formule habituelle pour les réels :

pour a strictement positif.
Mais ça n'a pas vraiment d'intérêt, car on va être tenté d'appliquer à xⁱ les règles habituelles des puissances, et ça ne marche pas bien. Parce que, par exemple :

et donc la fonction x-->xⁱ est une fonction qui prend une infinité de fois la même valeur. Il va être difficile de manipuler ensuite ce nombre. Impossible de revenir à x si on sait la valeur de xⁱ.
A priori, les matheux n'utilisent pas ce genre de notation inutile, se contentent d'utiliser les exponentielles complexes et de bien se souvenir que x-->e^ix est une fonction périodique (e^ix=cos(x)+i sin(x)) de période .

Donc à moins que ce soit un raccourci très utile, inutile de perdre du temps avec ça.

Cordialement.

Bonjour,
Juste une remarque concernant la forme et une partie du fond de cette réponse.
Je suis bien sûr d'accord avec le fait qu'il faut faire attention avec la notation z^i pour les raisons indiquées (périodicité de l'exponentielle complexe).

La notation fait aussi intervenir une puissance dont on utilise une partie des propriétés (module du produit, argument du produit, par exemple), mais pas toutes.

Il n'y a pas de réciproque pour x^i, mais cos x sans restriction n'en a pas non plus.

Juste pour signaler qu'en tant qu'élève un peu chiant, j'ai du mal à me contenter de l'explication (Pour réussir aux concours, pas de soucis, c'est évidement le mieux) .

Cordialement.

[gg0]

J'ai simplement essayé d'alerter Jean-marc6999 sur les risques de cette notation, très peu utilisée (je ne connais pas de cas, même si elle a pu servir). Sans entrer dans des discussions délicates.

Cordialement.