Formalisation topologique de la notion "sans trou"

[marco_renou]

Bonjour,

Je cherche à savoir s'il existe une manière de formaliser topologiquement la notion de "sans trou" (que ce soit le trou du tore, de la sphere creuse, ...) pour un espace compact.
Ce n'est pas "tous les groupes d'homotopie sont triviaux": un contre exemple est le "cercle polonais" (formé à l'aide des points (x,sin(1/x)) pour x€]0,1], du segment [(0,-1),(0,+1)] et d'une courbe reliant le tout pour faire une boucle).

Est ce que la notion "d'espace contractile" est plus adapté?

Merci.
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[minushabens]

Tu parles du trou du tore et de celui de la sphère, mais par "trou du tore" tu entends l'espace qui est l'intérieur du tore (où se trouve l'air de la chambre à air), ou bien là où se trouve le moyeu de la roue? Parce que le premier serait plutôt analogue à celui de la sphère mais pas le second. Le tore aurait donc peut-être deux trous selon toi?

[minushabens]

En fait toutes les surfaces compactes sans bord orientables ont une cavité genre sphère, donc ça n'a aucun intérêt de chercher une caractérisation de ces surfaces. Il y a la bouteille de Klein qui n'a pas de cavité. Et pour les trous genre tore on a le groupe fondamental.

[pm42]

Je cherche à savoir s'il existe une manière de formaliser topologiquement la notion de "sans trou" (que ce soit le trou du tore, de la sphere creuse, ...) pour un espace compact.
Ce n'est pas "tous les groupes d'homotopie sont triviaux": un contre exemple est le "cercle polonais" (formé à l'aide des points (x,sin(1/x)) pour x€]0,1], du segment [(0,-1),(0,+1)] et d'une courbe reliant le tout pour faire une boucle).

J'ai probablement raté un truc mais la simple connexité ne suffit pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

J'ai probablement raté un truc mais la simple connexité ne suffit pas ?

Je ne pense pas : Un cube plein avec un trou sphérique au milieu est simplement connexe

[Amanuensis]

Et de toutes manières la simple connexité ne permet pas de distinguer entre elles les surfaces à groupe d'homotopie non trivial.

Et il n'y a pas de surface orientable compacte sans bord simplement connexe! (RP2 et le plan le sont, la première non orientable, la seconde non compacte.)

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Sinon, la classification des surfaces "lisses" (dont à base dénombrable) sans bord (variétés de dimension 2) est bien connue. Les critères sont, il me semble :

- compacte ou non ;

- orientable ou non ;

- si compacte, le groupe fondamental (nombre de "anses" n, e.g, 0 pour la sphère, 1 pour le tore, 2 pour le double tore ; le groupe fondamental s'exprimant en fonction de n (Z^n² ???))

- si non compacte, le nombre de disques à suturer pour obtenir une surface compacte (e.g., 1 pour le plan ou le ruban de Möbius, 2 pour le cylindre, 3 pour le pantalon), puis la caractérisation de la surface compacte (possibilité unique).

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Pour moi la contractilité concerne les lacets quand on se limite aux surfaces, pas aux surfaces mêmes. Et c'est en rapport avec le groupe fondamental d'homotopie.

[Amanuensis]

J'ai oublié la limitation à "connexe". Pour une variété non connexe, la description se fait par composante connexe...

[pm42]

Je ne pense pas : Un cube plein avec un trou sphérique au milieu est simplement connexe

C'est ce que j'avais raté. Merci.

[minushabens]

Et il n'y a pas de surface orientable compacte sans bord simplement connexe! (RP2 et le plan le sont, la première non orientable, la seconde non compacte.)

euh... la sphère S^2 est bien orientable, compacte et sans bord et simplement connexe.

[Amanuensis]

euh... la sphère S^2 est bien orientable, compacte et sans bord et simplement connexe.

Oui, merci pour la rectification.