Dimension finie et Somme de sev

[invite03ef28af]

Bonjour,
J'ai un problème pour déterminer une cns:
Soit E un K-ev de dimension finie et F,G deux sev de E
Déterminer une cns sur F et G pour qu'il existe un endomorphisme f de E tel que Im f = F et Ker f = G

Pour la CN je suppose qu'il existe un tel sev
J'applique donc le Théoreme du rang:
J'obtiens donc dim E = dim F + Dim G
mais donc E=F+G est directe non ?
C'est pourtant l'objet de la question suivante ( une belle histoire de groupe avec un élement neutre exotique)
Ou est mon erreur je ne comprends pas.
Merci
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[slivoc]

Bonsoir,

A priori, si je ne me trompe pas, on n' a pas nécessairement que E=F+G, même si dim E= dim F+ dim G. Par exemple dans R², si (e1,e2) en est une base, on peut projeter sur vect(e1) parallèlement à vect (e2) puis appliquer une rotation qui envoie e1 sur e2. alors l' image de cette application sera aussi son noyau: vect(e2). L' application sera en fait nilpotente.

Bonne soirée !

[invite03ef28af]

je vois, ainsi la condition nécessaire ne serais que dim E = Dim F + dim G ?
Merci

[slivoc]

du coup oui, ça serait une condition nécessaire. A mon avis c' est aussi une condition suffisante en décomposant E en la somme directe de G et d' un de ses supplémentaire ( qui a du coup même dimension que l' image ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03ef28af]

Je ne pense pas que ce soit aussi simple en effet il faut pour montrer le caractère suffisant de la condition il faut montrer l'existence d'un f dans L(E) tel que
F= Im f et G= Ker f
on ne peut donc pas utiliser votre argument
Merci

[slivoc]

Si on appelle K un supplémentaire dans E de G, On peut poser f:E->E, une application linéaire, qui envoie une base de K sur une base F, et qui envoie G sur 0. Pourquoi cela ne fonctionnerai pas ?

[invite03ef28af]

ah oui en effet,
J'ai encore un peu de mal à utiliser les bases, mais ca va venir !
Merci en tout cas

[invite6bfdf32a]

La cns ça serait pas de dire que f est une application linéaire?

[gg0]

Heu ... la propriété parle de F et G, pas d'une application f. C'est dans un de ses termes qu'il y a l'affirmation de l'existence d'une application linéaire; on veut prouver (R(F,G) est la propriété recherchée) :
R(F,G) ==> il existe une application linéaire L telle que Im(L)=F et Ker(F)=G
Pour une certaine application linéaire u de E dans E, Im(u)=F et Ker(u)=G ==> R(F,G).

Cordialement.
NB : pas de f dans l'énoncé, autre qu'une lettre utilisée pour l'écrire, qu'on peut changer à volonté.
NBB : Voir "théorème du rang".

[invite6bfdf32a]

Ha oui, endomorphisme est une application linéaire... le boulet que je suis!

Je suis pas sur de bien comprendre la question, je passe