curiosité géométrique

[Anatole Fetride]

Bonsoir bonsoir,

Si les fonctions sinus et cosinus permettent de dessiner un plan car elles sont lin. indep., en mettant des nombres complexes à l'intérieur de ses sinus ou cosinus, se retrouve-t'on avec un espace vectoriel avec 4 dimensions ? Si c'est pas le cas, à quoi ça correspondrait géométriquement ?

PS: Je dis probablement une énorme connerie mais ça m'intrigue, soyez indulgent je débute ! ^^
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[Amanuensis]

; cela s'étend aisément aux complexes.
, d'où (à vérifier)

Maintenant, la question sur le plan et la signification géométrique ne m'est pas claire, peut-être les formules ci-dessus vont aider?

[Médiat]

Bonjour,

Si les fonctions sinus et cosinus permettent de dessiner un plan car elles sont lin. indep., en mettant des nombres complexes à l'intérieur de ses sinus ou cosinus, se retrouve-t'on avec un espace vectoriel avec 4 dimensions ?

En disant que sin et cos sont linéairement indépendantes, vous voulez sans doute dire "en tant que fonctions" et le plan dont vous parlez est l'ensemble des fonctions pouvant s'écrire f(x) = a sin(x) + b cos(x), ou (a et b sont des réels).

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que vous voulez dire par "en mettant des complexes à l'intérieur", en tout état de cause -isin(ix) = sinh(x) et cos(ix) =cosh(x), et les fonctions (sin, cos, sinh, cosh) sont linéairement indépendantes et génère donc un sev réel de dimension 4 (on peut aussi envisager des ev sur les complexes).

Je ne sais pas vraiment ce que vous voulez dire par "dessiner un plan".

[vanos]

Si les fonctions sinus et cosinus permettent de dessiner un plan car elles sont lin. indep., en mettant des nombres complexes à l'intérieur de ses sinus ou cosinus, se retrouve-t'on avec un espace vectoriel avec 4 dimensions ? Si c'est pas le cas, à quoi ça correspondrait géométriquement ?

PS: Je dis probablement une énorme connerie mais ça m'intrigue, soyez indulgent je débute ! ^^

J'ai plutôt l'impression que l'on parle ici de trigonométrie

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anatole Fetride]

Merci beaucoup à tous pour vos réponses!

Je manque de vocabulaire d'où surement des confusions, je vais travailler là-dessus.
Vos réponses m'ont bien éclairées. Pour essayer d'être plus formel, j'essayais de trouver une application linéaire qui aurait pour ensemble image un espace vectoriel de dimension 4 en utilisant que les fonctions sinus, cosinus et des nombres complexes en arguments de ses fonctions. Cependant je crois comprendre que pour utiliser la fonction sinh, il est nécessaire de multiplier sin(zx), (avec z dans C) par un complexe, donc la taille maximum de l'ev que je cherche devrait donc être 3?
Cette application linéaire pourrait elle être de la forme f(z) = a cos(z) + b sin(z) , avec a et b des réels et z dans C ?
Dans ce cas, pour essayer d'apprivoiser cet EV, si j'essaies de mettre en argument les vecteurs de base de C pour obtenir l'image de f, est ce que le fait de mettre z purement imaginaire ou purement réel ne permet-il pas d'obtenir 4 fonctions linéairement indépendantes ? En posant z= c+id par exemple:
f(c) = a cos (c) +b sin (c)
f(d) = a cos (id) + c sin (id)
Avec une telle application linéaire (dans l'hypothèse où je n'ai pas dis que des énormes conneries jusqu'ici ^^), est-ce qu'il serait possible de chercher comment une droite dans C serait transformée par une telle application linéaire (c'est là ce que je voulais dire par interprétation géométrique...^^).

Bonne journée!

[Médiat]

Bonjour,

Vous mélangez des fonction de IR dans IR et des fonctions de IR dans C ; pourquoi ne pas considérer les fonctions (sin, cos, sinh, cosh) qui sont toutes de IR dans IR et linéairement indépendantes ?

[Resartus]

Bonjour,
Pour repérer un point dans un espace à n dimensions, il faut n paramètres.

A 2 dimensions, il suffit d'un nombre complexe (2 paramètres), où bien on peut passer en coordonnées polaires, et utiliser theta et r (deux réels). Sans r, vous n'aurez qu'une dimension avec theta réel et cela sera seulement un cercle.
Avec theta complexe (toujours 2 paramètres), vous pourrez retrouver le plan complexe complet, mais d'une manière bien compliquée....

A quatre dimensions, il faudra quatre nombres réels ou deux nombres complexes différents. Si vous n'avez que deux variables (un nombre complexe), vous ne pourrez représenter qu'une surface dans cet espace à 4 dimensions. Pour l'équivalent des coordonnées polaires, il faudra 3 angles

Il existe une équivalence très utilisée en robotique entre l'espace à 4 dimensions des quaternions, et celui des rotations dans l'espace, mais je crains que ce ne soit au delà de votre niveau actuel de mathématiques. Si vous voulez vous y essayer, voici un lien :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Quater...ans_l%27espace