Théorie des nombres

[juliendusud]

Dans le fil intitulé "formule à la Ramanujan", on a vu que l'égalité



pouvait se généraliser pour l'ensemble des entiers naturels :


avec .

Nous pouvons pousser la généralisation pour l'ensemble des nombres réels en définissant la fonction A telle que :

où x est un nombre réel

La généralisation s'écrit alors .

Exemple :


qui se simplifie en :

-----

[juliendusud]

Dans cet article, je présente une recette généralisée pour obtenir des formules contenant une infinité de termes à la manière des formules de Ramanujan :



On appelle la fonction génératrice de x.
est appelé l'incrément, il sera généralement défini comme ou .
et deux fonctions définies dans le même intervalle, est la fonction réciproque de G.

Avec ce formalisme, pour tout réel x appartenant à l'ensemble de définition de G et F, on a .


Vérification






En remplaçant une première fois par son expression on obtient :



On continue en remplaçant par sa nouvelle expression :



Et ainsi de suite jusqu'à l'infini...


Application

Dans l'ensemble des réels positifs, on définit :





est donc défini par :


En écrivant , on obtient de manière récursive l'expression :


où

À vous de tester de jolies formules infinies

[juliendusud]

Dans IR+, en définissant :





On obtient le générateur qui généralise la formule de Ramanujan :

[juliendusud]

En définissant le générateur suivant :


avec

On peut construire le nombre 0 en posant , et fait remarquable il s'avère que ce nombre 0 a exactement la même expression que la série des entiers alternés :
0 = [1] - [2] + [3] - [4] + [5] - [6] + [7] - [8] + ...

Sauf erreur de ma part, le générateur montre que la série des entiers alternée est une autre expression grammaticale du nombre 0 exactement au même titre que cette autre expression de 0:


Pourtant les méthodes de sommation d'Abel et de Borel attribuent la valeur 1/4 à la somme de la série des entiers alternés.

Qu'en penser ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[juliendusud]

Avec le générateur
on obtient une expression d'un nombre réel x sous la forme
x = [x] [-] [x] [+] [x] [-] [x] [+] [x] [-] [x] [+] [x] [-] [x] [+] ...

en simplifiant les crochets :
x = x - x + x - x + x - x + x - x + x - x + x - x + ...

Notons bien que les 3 points de suspension figurent après un +.
En revanche, cette écriture presque similaire à la précédente n'est pas une expression de x :
x ≠ x - x + x - x + x - x + x - x + x - x + x - x ...

En considérant le cas x = 1, on obtient une expression du nombre 1 :
1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

[juliendusud]

En définissant le générateur suivant :

Les lecteurs attentifs auront corrigé d'eux même la parenthèse qui manque :

[juliendusud]

Bonjour,

La recette indiquée dans le fil n'est pas la plus générale qui soit, en voici une autre.

On définit le générateur d'un nombre réel x, la fonction G telle que :

est l'incrément de x que l'on peut définir au moyen d'une fonction i(x) telle que

En exploitant la récursivité de G sur l'incrément, on obtient les expressions de x :


En utilisant ce formalisme, on peut reconstruire l'expression suivante :



en définissant :

avec

Joli, non ?