theorie des nombres

[invite9252fc98]

bonjour
je n'arrive pas a saisir le contenu d'une démonstration en "théorie des nombres:
énoncé :
soit un nombre premier impair de , alors les assertions suivantes sont équivalentes :

est un carré dans
est somme de deux carrée
démonstration :
;
soit pour , on pose

si
si


et on conclue par dire que l'ensemble des est une partition de


Ma question est la suivante: qu'est ce qui nous permet de ne considerer que ces deux cas, pourquoi n'y aurait il pas de , tel que :
et ?

je vous remercie d'avance pour vos reponses
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[invitea0db811c]

Bonsoir,

Il y a bel et bien des a qui ne vérifient aucun des cas, mais ce qu'il faut noter, c'est que P1= {1,-1} est la seul partie de la forme recherchée telle qu'on ai le premier cas. Or les (Pa) forment une partition de (Z/pZ)*, et card(Z/pZ)*=4k. Donc il existe au moins un autre a différent de 1 et -1 tel que Pa contienne deux éléments. Comme dans ce cas, on ne peut avoir a=a^-1 (car sinon on aurait a=1 ou a=-1), alors a=-a^-1.

Donc a est une racine de -1.

[invite9252fc98]

c'est très clair maintenant, je te remercie vraiment pour ton aide, sa fesait un bon moment que je bloquais sur cette démonstration.