systems dynamiques quadratiques en dimension 3

[CouldBe]

Bonjour à tous

Je suis nouveau dans le forum et j'ai besoin d'aide, voila mon probleme

Le systeme dynamique [X][/1] suivant

[x][/ .]= (a y+b z)(x+y-2 z)
[y][/ .]= (-a x+c z)(x+y-2 z)
[z][/ .]= (b x+c y)(x+y-2 z)

admet un cone invariant constitué d'orbites periodiques qui sont des ellipses.

et le systeme dynamique [X][/2] suivant

[x][/ .]= -y z
[y][/ .]= x z
[z][/ .]= 0

est un champs de rotation d'axe (oz)

Et il (semble), avec des simulations numériques, que les orbits du systeme dynamique X=[X][/1]+[X][/2] ne sont pas périodiques.
La question est comment le prouver ???

Est ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci
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[Resartus]

Bonjour
Je ne suis pas sûr de comprendre vos notations. Vouliez-vous écrire xpoint ypoint zpoint (les dérivées par rapport au temps?)

Et que veut dire pour vous la somme X1+X2?
S'agit-il simplement d'additionner deux vecteurs indépendants, chacun répondant à un système d'équations différentes?
Si oui il est clair que les fréquences de X1 et celles de X2 n'ont aucune raison d'être commensurables, sauf valeurs très bien choisies des conditions initiales.
Et sinon, je ne vois pas quel sens donner à la somme que vous faites. Il ne peut pas y avoir deux systèmes d'équations différents pour un même système. Tout au plus peut-on changer les conditions initiales....

[CouldBe]

Merci beaucoup pour la réponse. Voila ma question, comment on peut démontrer que le système dynamique


xpoint= (a y+b z)(x+y-2 z) - y z
ypoint= (-a x+c z)(x+y-2 z)+ x z
zpoint= (b x+c y)(x+y-2 z)

n'admet pas des orbites periodiques ??

[Resartus]

Bonjour,
Je ne suis pas sûr qu'il existe des méthodes générales* pour identifier les solutions périodiques d'un système différentiel quelconque (et donc, à l'inverse, pour prouver qu'il n'en existe pas).
Il y a bien les méthodes perturbatives type Poincaré, mais elles supposent de partir d'une approximation linéaire, ce qui ne marchera probablement pas dans votre cas.

Sinon, à tout hasard, une méthode qui peut marcher pour des équations simples est de réexprimer les vecteurs solutions sous la forme V(t).exp(iwt). S'il existe des solutions périodiques, on pourra trouver pour certaines valeurs de w une composante continue de V différente de zéro. (Mais c'est vraiment sans garantie, car vos équations sont plutôt dissuasives : je n'ai pas le courage de tester)


*Si vous en avez dans vos cours, je serais preneur d'une référence...

[A voir en vidéo sur Futura]