Partitions de l'unité et métrique

[mcheddadi]

Bonjour,
Je sollicite votre aide pour la question suivante :
Comment montrer que toute variete C infini possède une métrique riemanienne , en utilisant une partition de l'unité ?
Merci.
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[AncMath]

En utilisant le fait que l'ensemble des produits scalaires sur un espace vectoriel réel est convexe.

[mcheddadi]

Merci
Ceci est en fait vrai pour toute combinaison lineaire à coefficients positifs ou nuls sauf pour au moins un coefficient qui est strictement positif.

[mcheddadi]

Peut-on m'indiquer un ouvrage en ligne où est exposée la preuve ?
Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Bonsoir,

Construire une métrique riemannienne pour une variété , signifie construire une section globale du fibré . Or cette section globale se construit par recollement de sections locales sur chaque carte ou trivialisation locale. Chaque section locale est un produit scalaire. Une section globale est une partition de l'unité de sections locales qui sont des produits scalaires, donc, la métrique est un produit scalaire par convexité de l'espace des produits scalaires. Une partition de l'unité est une combinaison convexe de ...

Ce sujet a été discuté ici il y'a quelques années : http://forums.futura-sciences.com/ma...ometrique.html
Lis surtout les postes entre et .

[AncMath]

Peut-on m'indiquer un ouvrage en ligne où est exposée la preuve ?
Merci.

Pas besoin, c'est totalement trivial.
Prend un recouvrement localement fini par des ouverts de carte de ta variété tel que le fibré tangent soit trivial sur chaque et une partition de l'unité associé à ce recouvrement, ces deux choses existent parce qu'une variété est supposée paracompacte. Pour chaque on peut construire une métrique notée sur le fibré tangent restreint à , par exemple en prenant la métrique donnée par l'identité dans un choix de coordonnées sur . Alors la forme est bien une forme bilinéaire symétrique sur le fibré tangent globalement définie car chaque point ne rencontre qu'un nombre fini des et elle est définie positive car en un point donné appartenant donc à un certain , l'est.

[azizovsky]

pourquoi une variété paracompacte, j'ai lu la même démonstration à partir d'une variété compacte, quelle est la différence?
démonstration d'un lemme: toute variété compacte donne lieu à une métrique riemannienne .

[AncMath]

Une variété compacte est paracompacte. Grosso modo paracompacte, c'est pile les hypothèses qu'il faut pour que des partitions de l'unité existent. C'est une variété Hausdorff telle que tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini.

[azizovsky]

Merci, le lexique à may...., {U(k)}numérotable, adhérence, subordonné, ...., il faut du temps pour diluer le dictionnaire .