exercice espaces vectoriels

[invite0937202d]

Bonjour,

J'ai un petit exercice sur les espaces vectoriels mais je bloque à certains endroits.

Soit E un espace vectoriel de dimension 3, et u un endomorphisme de E. On suppose que u³=0 et u² différent de 0.

1. Justifier l'existence d'un vecteur x de E tel que u²(x) différent de 0.
2. Montrer que u^k(x) = 0 pour tout entier supérieur ou égal à 3.
3. Montrer que la famille (x, u(x), u²(x)) est une famille libre de E.
4. En déduire que c'est une base de E.

1. Je bloque. Comme u est un endomorphisme, doit-on utiliser l'argument de la linéarité?

2. je l'ai fait pas récurrence.

3. Soit O₁, O₂, O₃, appartenant à R tels que O₁x + ₂ u(x) + O₃ u²(x) = 0

Je sais qu'il faut que je montre que O₁ = O₂=O₃=0 mais je n'y arrive pas.

4. Comme c'est une famille libre, il suffit de montrer qu'elle est génératrice aussi.

Je vous remercie d'avance,
green1802
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[NicoEnac]

Bonjour,

4. En déduire que c'est une base de E.
...
4. Comme c'est une famille libre, il suffit de montrer qu'elle est génératrice aussi.

C'est une famille libre de dimension égale à la dimension de E donc...

[NicoEnac]

Re,

u² différent de 0.
...
1. Justifier l'existence d'un vecteur x de E tel que u²(x) différent de 0.

u² = 0 signifierait : V x € E, u²(x) = 0
u² différent de 0 signifie selon moi : il existe x € E / u²(x) différent de 0.

Donc, selon moi, la réponse 1 est donnée directement par l'énoncé.

[invite0937202d]

merci ^^
Oui, c'est vrai que pour la question 1... J'ai cherché trop compliqué, comme toujours!
Merci pour votre aide, je commence à y voir plus clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

3. Montrer que la famille (x, u(x), u²(x)) est une famille libre de E.

Raisonnons par l'absurde : supposons qu'elle ne soit pas libre, donc liée.
Cela signifie que ou ou ou .

En appliquant u à ces équations et en utilisant le résultat de la question 2, on devrait tomber sur quelque chose d'intéressant.

[inviteaf1870ed]

Raisonnons par l'absurde : supposons qu'elle ne soit pas libre, donc liée.
Cela signifie que ou ou ou .

En appliquant u à ces équations et en utilisant le résultat de la question 2, on devrait tomber sur quelque chose d'intéressant.

On peut aussi voir la chose de cette manière :
supposons qu'il existe une combinaison linéaire nulle de x, u(x) et u²(x) : ax+bu(x)+cu²(x)=0
En appliquant u²(x) aux deux cotés : au²(x)=0 donc...

[invite0937202d]

je viens de trouver la réponse.
merci beaucoup

[NicoEnac]

On peut aussi voir la chose de cette manière :
supposons qu'il existe une combinaison linéaire nulle de x, u(x) et u²(x) : ax+bu(x)+cu²(x)=0
En appliquant u²(x) aux deux cotés : au²(x)=0 donc...

C'était l'idée que je souhaitais développer mais j'ai du mal la transcrire. Votre façon est plus explicite.

[invitee351071a]

Bonsoir,

Faut-il préciser que X doit être différent de 0 pour que (X, u(X), u(u(X)) soit une base de R3 ?

Merci,

Latinus.

[invitee351071a]

Et il ne faut pas que X, u(X) et u(u(X)) soient distincts ?

[invitee351071a]

Bonsoir,

Désolé de ressortir ce vieux sujet, auriez-vous une réponse aux derniers posts s'il-vous-plaît ?

Merci !

Cordialement.

Latinus.

[gg0]

Voir la question 1.

[invitee351071a]

Merci de votre réponse.

Est-ce suffisant de dire que X est différent de 0 ?

Pourquoi on ne précise pas les 3 vecteurs de la base sont distincts ? C'est sous-entendu ?

Cordialement.

[gg0]

Suffisant pour quoi ?

Quand une famille est libre, ses éléments sont différents, c'est une conséquence évidente de la définition : S'il y a deux fois x dans la famille, la combinaison linéaire 1.x+(-1).x est nulle.

Cordialement.