Exercice espaces vectoriels difficile

[inviteb64a2f8e]

Bonjour à tous !

Voilà je m'entraîne à essayer de faire des exercices d'annales des concours que je voudrais présenter l'année prochaine et là je suis tombé sur un exercice qui me parait important mais sur lequel je bloque. Je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques indices pour comprendre cet exercice. En voilà l'énoncé :


Soit E un espace vectoriel sur de dimension , et un endomorphisme de E. On pose .

On suppose dans cet exercice non nul et

Question 1 :

Montrer que . En déduire .

=> Je sais que il existe tel que et donc tel que .
Mais le problème c'est que je ne vois pas trop ce que veut dire =S. Et je ne vois pas trop comment en déduire

Question 2 :

Soit H un sous espace vectoriel de E qui est un supplémentaire de .
On note une base de H.
Montrer que est une base de

=> Je ne sais pas trop si j'ai le droit de dire que H est un supplémentaire de dans E donc et donc est une base de , c'est-à-dire une base de ?

On complète maintenant, si nécessaire, cette famille en une base de à l'aide de vecteurs de que l'on notera . Enoncer précisément le théorème permettant de réaliser cette base de Kerf.

=> TH de la base incomplète

On note . vérifier que est une base de E.

=> et il suffit de montrer que est libre.

Question 3 :

Ecrire la matrice de relativement à cette base. On indiquera précisément quels sont les blocs (et leur format) qui apparaissent.

=> La matrice est à lignes et colonnes. La 1ère colonne correspond à , la 2eme à , la (r+1)ième à , la (2r+1)ème à et la nième à .
De même, la 1ère ligne correspond à , la 2ème à , la (r+1)ième à , la (2r+1)ème à et la nième à .

On a , et , . Mais je ne sais pas à quoi correspond :S

D'où le début de matrice :

Question 4 :

Sous quelle condition suffisante et nécessaire a-t-on ?

=> Si , comme , alors nécessairement et donc

Question 5 :

Dans cette question on traite le cas particulier où E =
Soit l'endomorphisme de dont la matrice relativement à la base canonique de est A =

Montrer que .

=> Je pensais déterminer et mais après comment je démontre que ?

Déterminer une base de , une base de et déterminer une nouvelle base de , dans laquelle a pour matrice




Voilà, comme vous avez ou le constater (si vous eu le courage d'arriver à tout lire) j'ai beaucoup de difficultés avec cet exercice (sûrement parce qu'il est très théorique) et je vous serais donc très reconnaissant de me donner un petit coup de pouce !

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.
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[invitec317278e]

c'est quoi ton rgf=r ??

[invitec317278e]

=> Je sais que il existe tel que et donc tel que .
Mais le problème c'est que je ne vois pas trop ce que veut dire =S. Et je ne vois pas trop comment en déduire

C'est faux, f²=0 ca ne signifie pas qu'il existe u, mais que c'est vrai pour tout u !

veut dire que si on prend un élément de l'image, l'élément appartient aussi au ker. ce qui veut dire que si on prend un élément x qui peut s'écrire f(y), on a aussi f(x)=0
ce qui veut dire que pour tout élément y de E, f(f(y)=f(x)=0, ce qui veut dire que f²=0

le théorème du rang nous dit que n=r+(dim ker)
or comme im inclus dans ker, r<dim ker
d'où n<2r

[Médiat]

c'est quoi ton rgf=r ??

Sans doute rang(f) = r (cf.la question 1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Quelle hypothèse est faite sur f ?

[invitec317278e]

=> Je pensais déterminer et mais après comment je démontre que ?

ici, c'est aussi simple de calculer f(f(e_1) et f(f(e_2) et f(f(e_3), surtout que le deuxième est nul et que le premier est égal au troisième...

Sans doute rang(f) = r (cf.la question 1)

oui, c'est ce que je me suis dit ensuite ^^

[inviteb64a2f8e]

Merci beaucoup d'avoir répondu !

J'ai écrit l'énoncé exactement comme il était donné mais je suis quasiment sûr que est le rang de .

Par contre pour ce que j'ai dit sur le fait que il existe tel que , on l'a vu en cours donc je ne pensais pas me tromper en disant ça. Vous êtes sûrs que c'est pour tout ?

Et je ne vois pas comment on fait pour montrer que si , alors

Merci !

[Médiat]

Et je ne vois pas comment on fait pour montrer que si , alors

[invitec317278e]

Par contre pour ce que j'ai dit sur le fait que il existe tel que , on l'a vu en cours donc je ne pensais pas me tromper en disant ça. Vous êtes sûrs que c'est pour tout ?

Et je ne vois pas comment on fait pour montrer que si , alors

Merci !

si on te disait que , tu dirais aussi qu'une fonction est nulle si et seulement si elle est nulle en au moins un point ??


et pour l'équivalence avec l'inclusion, je te l'a faite tout à l'heure :

veut dire que si on prend un élément de l'image, l'élément appartient aussi au ker. ce qui veut dire que si on prend un élément x qui peut s'écrire f(y), on a aussi f(x)=0
ce qui veut dire que pour tout élément y de E, f(f(y)=f(x)=0, ce qui veut dire que f²=0

[inviteb64a2f8e]

si on te disait que , tu dirais aussi qu'une fonction est nulle si et seulement si elle est nulle en au moins un point ??

Je suis d'accord avec toi, j'irai demander à la prof Lundi !

Sinon pour la question 2, ce que j'ai fait parait bon ou pas ? Parce que je ne suis vraiment pas sûr que je puisse dire H est un supplémentaire de dans E donc et donc est une base de , c'est-à-dire une base de ?

D'autre part pour la question j'ai écrit toutes les propriétés de et je ne sais pas quoi faire de mes

Merci !

[invitec317278e]

un théorème, parfois dit fondamental, énonce que toute application linéaire induit un isomorphisme entre tout supplémentaire de son noyau, et son image.
Ca répond à ta question ?

[inviteb64a2f8e]

Ca voudrait dire que ce que j'ai écrit est bon ?

Mais le problème c'est que l'on a pas vu ce théorème dons je ne sais pas si j'ai le "droit" de le dire comme ça, sans justifier.

[invite5f67e63a]

Heu ca m'etonnerai que ce soit n<2r...Si f est nulle alors f² est a fortiori nulle et n est quelconque.
C'est n>=2r qu'il faut montrer, Ce qui est trivial car n=dim ker f+rg(f)>=2rg(f)

[inviteb64a2f8e]

Heu ca m'etonnerai que ce soit n<2r...Si f est nulle alors f² est a fortiori nulle et n est quelconque.
C'est n>=2r qu'il faut montrer, Ce qui est trivial car n=dim ker f+rg(f)>=2rg(f)

Hum c'est bizarre parce que l'énoncé stipule clairement n <= 2r
De plus, Thorin a visiblement réussi à montrer cette inégalité :

le théorème du rang nous dit que n=r+(dim ker)
or comme im inclus dans ker, r<dim ker
d'où n<2r

[invite5f67e63a]

Oui enfin sa "démo" est fausse...

[inviteb64a2f8e]

Oui enfin sa "démo" est fausse...

Elle est fausse en quoi ?

[inviteb64a2f8e]

Sinon pour revenir à le question 2, je dois démontrer que est une base de .
Je dis que donc il suffit de démontrer que D est libre.
Soient tels que

Est-ce que j'ai le droit de dire que je compose par la fonction et donc que je retombe sur . Or, comme est une base, elle est libre donc . Et donc D est une base de .

C'est bon ou pas ? Ou alors j'utilise le théorème fondamental qu'a énoncé Thorin ?


De même, pour montrer que est une base, je dis que les cardinaux sont égaux. Mais est-ce que j'ai le droit de dire que comme , et sont libres, alors B est libre aussi ?

Merci beaucoup !

[invite5f67e63a]

Ben quand il dit dim ker f>=r, ca c'est vrai mais on en déduit pas n<2r au contraire ca donne en rajoutant r de chaque côté n>=2r

[inviteb64a2f8e]

Ben quand il dit dim ker f>=r, ca c'est vrai mais on en déduit pas n<2r au contraire ca donne en rajoutant r de chaque côté n>=2r

Oui c'est vrai t'as raison j'avais pas vu ça comme ça.

Mais alors ce serait l'énoncé qui serait faux, c'est bizarre.

[invite7ffe9b6a]

Bonsoir,

Sinon pour revenir à le question 2, je dois démontrer que est une base de .
Je dis que donc il suffit de démontrer que D est libre.
Soient tels que

Est-ce que j'ai le droit de dire que je compose par la fonction et donc que je retombe sur . Or, comme est une base, elle est libre donc . Et donc D est une base de .

C'est bon ou pas ? Ou alors j'utilise le théorème fondamental qu'a énoncé Thorin ?




Merci beaucoup !

On ne peut pas à priori utiliser puisque l'on a pas son existence.

Par contre on sait que les vecteurs sont dans H un supplémentaire de ker f.

Donc l'égalité



est equivalente à (linéarité de f)



Donc le vecteur

est dans

Mais x s'exprime comme combinaison des vecteurs de de H donc x est dans H

Finalement,



donc




Tu peux garder ta conclusion

[invitec317278e]

De plus, Thorin a visiblement réussi à montrer cette inégalité :

Toi, il faut que tu apprennes à développer ton sens critique pour t'apercevoir quand je dis d'aussi grosses âneries

[invitec317278e]

Mais le problème c'est que l'on a pas vu ce théorème dons je ne sais pas si j'ai le "droit" de le dire comme ça, sans justifier.

Dans ton cours, de quelle manière vous avez démontré le théorème du rang ?

[inviteb64a2f8e]

Toi, il faut que tu apprennes à développer ton sens critique pour t'apercevoir quand je dis d'aussi grosses âneries

J'avoue que sur ce coup là je t'ai fais confiance et en plus comme ça allait dans le sens de l'énoncé je ne me suis pas méfié. Bref.

Dans ton cours, de quelle manière vous avez démontré le théorème du rang ?

On a d'abord traité le cas
Ensuite, pour la cas , , on a utilisé le TH de la base incomplète.

[inviteb64a2f8e]

Bonsoir,






On ne peut pas à priori utiliser puisque l'on a pas son existence.

Par contre on sait que les vecteurs sont dans H un supplémentaire de ker f.

Donc l'égalité



est equivalente à (linéarité de f)



Donc le vecteur

est dans

Mais x s'exprime comme combinaison des vecteurs de de H donc x est dans H

Finalement,



donc




Tu peux garder ta conclusion

Merci beaucoup Antho07 !

Et est-ce que j'ai le droit de dire, pour montrer que est une base, que les cardinaux sont égaux et que les familles , et sont libres donc est une base ?

Ah oui, et pour la question 4, la condition suffisante et nécessaire pour que , c'est bien ?

[invitec317278e]

si je me place dans R^4, et que je prends la famille :
, est-ce que je peux dire que c'est une base parce que de dimension 4 et que est libre ?

[inviteb64a2f8e]

si je me place dans R^4, et que je prends la famille :
, est-ce que je peux dire que c'est une base parce que de dimension 4 et que est libre ?

Bah je pense que c'est bon puisque l'on pas le droit de réduire la famille en une autre famille .

Donc on a bien la famille de dimension 4. Mais je ne suis pas trop sûr de mon raisonnement. En fait je ne crois pas qu'on ait le droit de réduire une famille composée de deux vecteurs égaux, mais je n'en suis pas sûr du tout. Je sais qu'on a le droit quand il y a un vect.

[sylvainc2]

Pour répondre à la question 5 :

Pour démontrer g^2=0 tu n’as qu’à faire le calcul!

Pour une base de im g : les vecteurs colonne d’une matrice sont toujours dans l’image de cette matrice. Il suffit donc de choisir les colonnes linéairement indépendantes de g pour qu’elles forment une base de im g. Ici seulement (1,2,-1) est valide, car la colonne 2 est le vecteur zéro et il ne peut jamais être dans une base.

Pour une base de ker g : on voit que la colonne 2 = 0, et aussi que 1*col1-1*col3 = 0 donc les vecteurs (0,1,0) et (1,0,-1) sont dans ker g, et ils sont indépendants donc ils forment une base. Remarque que (1,2,-1) = 2(0,1,0)+(1,0,-1) donc il est dans im g et ker g (im g inclus dans ker g).

Pour le reste : soit (u1,u2,u3) les vecteurs de la nouvelle base dans laquelle g est écrite (je note cette matrice h). Dans cette base, ces vecteurs s’écrivent u1=(1,0,0), u2=(0,1,0), u3=(0,0,1). On voit que h(u1)=(0,1,0)=u2; h(u2)=0; h(u3)=0. Donc u2 et u3 sont dans ker h, et donc aussi dans ker g. Dans la base canonique, on peut prendre u2=(0,1,0) et u3=(1,0,-1) déjà calculés dans ker g. Ensuite on choisit u1 indépendant de u2 et u3 car il ne doit pas être dans ker g. Je prends u1=(1,0,0). On doit recalculer u2 car g(u1)=u2=(1,2,-1). On peut conserver le u3 déjà choisi, donc u1=(1,0,0), u2=(1,2,-1), u3=(1,0,-1) sont les vecteurs de cette base. J’ai vérifié en calculant h=P^-1 g P et ca marche, où P est la matrice de passage de la nouvelle base vers la base canonique : P=
[ 1 1 1 ]
[ 0 2 0 ]
[ 0 -1 -1 ]