Bonsoir,
Le théorème est le suivant : Tout endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une base orthonormale.
j'ai lu cette démonstration et j'ai absolument rien compris est-ce normal ? Dès la première ligne je suis perdu.
C'est quoi l'orthogonal d'un supplémentaire ?
Comment on sait que F est stable par u ?
Comment on passe de F à E ?
Etc...
Merci.
bonjour,
j'ai l'impression que tu ne connais pas bien la notion de somme directe, somme directe orthogonale. Il te faudrait revoir ces notions.
Pour montrer que F est stable par u, il te faut considérer un élément quelconque de F, soit a et montrer que u(a) est encore dans F. Mais a s'écrit comme somme d'un nombre fini d'éléments de certains E-lambda, lesquels sont les espaces propres de u, etc.
u est un endomorphisme de E.
J'ai :
J'ai revu le cours : donc somme directe orthogonale ça veut dire que leset en plus qu'ils sont orthogonaux 2 à 2.
Les
Je suppose qu'il y a n valeurs propres.
Donc soit
Donc :
Et là je bloque
Le sous espaces propres sont stables par u donc :
Mais F est un sous espace vectoriel donc la somme reste dans F donc
Pouvez-vous m'aider pour la suite ?
Par l'absurde, supposons F⊥≠{0E}. L'endomorphisme induit par u sur F⊥ est symétrique, il possède donc au moins un vecteur propre. Or celui-ci est aussi vecteur propre de u et donc élément de F. C'est absurde car F∩F⊥={0E}.
J'arrive pas à comprendre c'est quoi l'orthogonal de F donc l'orthogonal de : F=⊕⊥ Eλ(u)
l'orthogonal de F est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F. C'est facile de voir que c'est un sous-espace vectoriel (mais essaie de le démontrer).
Merci j'abandonne cette démo elle est trop tordue.
