Equation discrète solitons

[invite4e3009cf]

Bonjour à tout le monde,

Je suis totalement bloquée,
voici l'équation discrète de Sine-gordon :

d²θ(n)/d²t + w0².sin(θ(n))=c² (θ(n+1) - 2.θ(n) + θ(n-1))/a²

je dois résoudre cette équation différentielle du second ordre comme un système d'équation différentielles ordinaire du premier ordre en temps.
Si quelqu'un pouvais m'aider à me débloquer, je ne sais pas par où commencer.

Merci à celui ou celle qui sauverait mon projet
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[azizovsky]

Bonjour, déjà l'équation telle qu'elle est n'a pas de solution exacte connue, mais il y'a une solution approchée grâce à l'approximation des milieux continues , la 'différence centrale' =, tu tombe sur l'équation sin-Gordon .
on premier approximation , et tu regarde comment quantifier le champ électromagnétique ......(comme équation de Klein-Gordon et linéarisation de Dirac... )

ps: il y'a dans un facteur qui ressemble au facteur de Lorentz...

[azizovsky]

par 'intuition physique', il y'a deux façons, soit linéariser par rapport au temps seulement et garder la Laplacien, soit les deux ...

[azizovsky]

si je me rappelle bien pour le premier cas on passe par l'équation: avec

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e3009cf]

Je comprend bien la décomposition mais comment je peux lineariser avec iw0, et vu que l’équation diff n’est pas homogène, comment je peux avoir un système d’équations?

[azizovsky]

en première approximation , , l'équation devient :



avec ce qui donne :





......

[invite4e3009cf]

Ah ok, merci beaucoup.
Mais par contre pourquoi θ(n+1) - 2.θ(n) + θ(n-1)) devient d2θ/d2x???

[azizovsky]

oui https://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rence_finie

[azizovsky]

le tous sur a² (voir différences centrales )

[invite4e3009cf]

Merci, c’est une formule que j’utilise jamais mais j´ai compris le principe, mais’ce qui me gêne ćest que les n disparaissent alors qu’apriori j’en ai besoin après pour mon’ programme informatique..
Je vous envoie le sujet que j’ai eu peut être vous-même allez pouvoir m´aidez à comprendre..

[invite4e3009cf]

http://userpages.irap.omp.eu/~rbelmo...SineGordon.pdf

Voilà le sujet qu’en j’ai eu, l’objectif est que je réalise un programme informatique pour obtenir les solitons selon différentes conditions initiales, mais je suis bloqué à la partie préliminaire en faite..

[azizovsky]

je termine, on pose :



on'a:

[invite4e3009cf]

Très bien, je comprend tout ça, mais je n'arrive toujours pas a visualiser le système d'équation qui me faut pour pouvoir ensuite le programmer..

Mais je vous remercie pour votre aide, je vais essayé que mon prof me donne plus d'informations

[azizovsky]

ou sous forme matricielle..., pour la programmation, je suis quasi nul ...

[invite4e3009cf]

Je suis un peu perdue la parce que j'avais des θn où n me désignait le numéro du pendule et du coup la dans le système que vous avez je comprend plus trop quelle est la différence avec θa, θb, et j'ai plus les θn qui me sont indispensables pour la suite de ma programmation.. Je pensais que j'allais obtenir des systèmes d'équation avec des θn..
Ce projet me prend la tête..

[azizovsky]

la question est :

• Écrire un programme qui résout ce système d’équations pour trois types de conditions aux limites
(extrémités périodiques, fixes et libres).

il parle du système d'équation , rien avoir avec la discrétisation ...