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Géometrie algébrique à la Joe Harris

  1. #1
    Anonyme007

    Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Bonjour à tous,

    Je commence aujourd'hui la lecture du livre de Joe Harris qui a pour titre : Algebraic Geometry, a first course. C'est un livre qui aborde la géométrie algébrique par les outils de la théorie de l'intersection et la théorie des moduli spaces. Alors, je rencontre des problèmes à comprendre ce qui est rédigé dans ce livre dès le premier chapitre :

    Tout sous ensemble fini de points de est une sous variété de .
    En page , paragraphe : Finite sets :
    Pourquoi si consiste en points n'appartenant pas à une meme droite, alors peut être décrit comme le lieu des zéros de polynômes de degré ou ''less'' ?

    Merci d'avance pour votre éclairage.

    -----


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  3. #2
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    D'accord, je comprends :
    comprend points, alors, le polynôme de plus petit degré qui suffit pour que soit le lieu des zéros de ce polynôme est un polynôme de degré ou ''less'' ...
    Pourquoi ''less'' ... ?
    Parce que si dans il existe au moins trois points colinéaires ( i.e : appartenant à une meme droite ), alors, le polynôme de plus petit degré qui suffit pour que soit le lieu des zéros de ce polynôme est un polynôme de degré strictement inférieur à , C'est à dire, on ajoute ''less'' parce que il y'a des cas ou un sous ensemble de points de ne sont pas en général position, mais sont colinéaires.

  4. #3
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Bonjour,

    Pourquoi est une sous variété analytique mais pas une sous variété algébrique ?

    Merci d'avance.

  5. #4
    minushabens

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Sans-doute parce qu'un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de zéros.

  6. #5
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Tu es génial minushabens, comme toujours. Merci beaucoup. J'ai compris. Je suis soulagé.

  7. #6
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Bonsoir,

    Harris dans son ouvrage : Algebraic geometry, A first course, fournit deux définitions qui sembles être distinctes à première vue, de la notion de fonctions régulières :

    La première :
    - Let be any open set and any point.
    We say that a function on is regular at , if in some neighbourhood of it is expressible as a quotient , where and are polynomials and . We say that is regular on if it is regular at every point of .
    La deuxième :
    The ring of functions regular at every point of is the coordinate ring with the ideal of defined by : of functions vanishing on . Moreover, if is a distinguished open subset, then the ring of regular functions on is the localization .

    Alors, ma question est comment mettre un lien entre les deux définitions à fin de pouvoir voir clairement pourquoi les deux définitions sont équivalentes ?

    Dans un passage, il affirme : A polynomial that is nowhere zero on is a unit in . Je ne sais pas si cette affirmation peut aider à déceler l'astuce.

    Merci d'avance.

  8. #7
    minushabens

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Dans la deuxième définition ça ne serait pas plutôt K(z1,..,zn) ?

  9. #8
    minushabens

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    non, c'est idiot ce que j'ai écrit. Mais effectivement les deux définitions n'ont pas l'air de coïncider.

  10. #9
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Dans la deuxième définition ça ne serait pas plutôt K(z1,..,zn) ?
    Tu comprends effectivement où je voulais en venir. C'est ça ce qui m'intriguait au début, mais je crois que j'ai réglé le problème :
    En fait, l'anneau des coordonnées est un anneau muni de deux lois de composition interne : et et non simplement un groupe muni de la loi . Donc, on a : .
    Pour l'addition , les éléments de sont noté : avec : .
    Pour la multiplication , les éléments de sont noté : avec : .
    Non ?
    Alors, si est régulière sur , alors : avec : , alors : , non ?
    Donc, est régulière sur si et seulement si , non ?

    Merci d'avance.

  11. #10
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    non, c'est idiot ce que j'ai écrit. Mais effectivement les deux définitions n'ont pas l'air de coïncider.
    Si si, les deux définitions conïncident pour une variété affine, ce qui est implicite dans ce qui est dit d'ailleurs, ou à tout le moins quasi-affine, dans ce cas là le résultat n'est pas correct, il l'est exactement pour les variétés affines. C'est en fait presque la définition d'etre affine.
    Dernière modification par AncMath ; 19/02/2018 à 16h10.

  12. #11
    mtheory

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Bonjour à tous,

    Je commence aujourd'hui la lecture du livre de Joe Harris qui a pour titre : Algebraic Geometry, a first course. .
    Je le trouve pas facile d'accès ce bouquin, perso, j'ai trouvé le livre de Daniel Perrin (https://www.amazon.fr/G%C3%A9om%C3%A...sap_bc?ie=UTF8) nettement plus clair ainsi que celui de Justin Smith https://www.amazon.fr/Introduction-A...9057438&sr=1-1.
    Dernière modification par mtheory ; 19/02/2018 à 16h24.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  13. #12
    minushabens

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    ah oui je viens de capter que X avait un nombre fini de points. Je ne voyais pas comment une définition où les fonctions sont contraintes à n'être rationnelles que sur un voisinage de certains points pouvait être équivalente à l'autre définition qui est purement algébrique. Bon j'arrête de m'immiscer dans des discussions de maths qui me dépassent...

  14. #13
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Non, non, n'a pas qu'un nombre fini de points ! La vie serait triste sinon. Elle est simplement affine : c'est une fermé de .
    Finalement on peut en donner une démonstration tres simple à la main (en général c'est un des premiers trucs qu'on prouve après la définition de variété affine, et de fonctions regulières), mais la "vrai" raison c'est que pour affine alors pour un faisceau quasi-cohérent.

  15. #14
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par mtheory Voir le message
    Je le trouve pas facile d'accès ce bouquin, perso, j'ai trouvé le livre de Daniel Perrin (https://www.amazon.fr/G%C3%A9om%C3%A...sap_bc?ie=UTF8) nettement plus clair ainsi que celui de Justin Smith https://www.amazon.fr/Introduction-A...9057438&sr=1-1.
    Merci, j'ai lu avant une bonne partie du livre de Daniel Perrin meme si je l'ai pas entièrement lu, mais je trouve qu'il est temps pour moi de lire le livre de Joe Harris car j'ai déjà assez de prérequis en géométrie algébrique que j'ai appris ces dernières années. Le livre est intéressant pour moi parce que j'aimerais devenir familier avec la théorie de l'intersection qui m'a beaucoup accablé quant j'ai eu l'idée de m'y initier il y'a quelques années, je l'ai pas bien saisi parce qu'elle est de nature combinatoire, et cela me dégoute un peu, mais maintenant je suis motivé pour la comprendre malgré son gout amer parfois.
    Je suis maintenant à la page , et jusqu'à maintenant je trouve aucun problème. J'ai commencé une fois à lire ce livre il y'a quelques années en désordre, j'ai appris grâce à ce livre les variétés de Schubert, les moduli spaces, ... etc, je l'ai entrepris en désordre, c'est pourquoi j'ai une idée assez claire du contenu du livre, c'est pourquoi je le trouve facile à aborder maintenant.

  16. #15
    mtheory

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Merci, j'ai lu avant une bonne partie du livre de Daniel Perrin meme si je l'ai pas entièrement lu, mais je trouve qu'il est temps pour moi de lire le livre de Joe Harris car j'ai déjà assez de prérequis en géométrie algébrique que j'ai appris ces dernières années. Le livre est intéressant pour moi parce que j'aimerais devenir familier avec la théorie de l'intersection qui m'a beaucoup accablé quant j'ai eu l'idée de m'y initier il y'a quelques années, je l'ai pas bien saisi parce qu'elle est de nature combinatoire, et cela me dégoute un peu, mais maintenant je suis motivé pour la comprendre malgré son gout amer parfois.
    Je suis maintenant à la page , et jusqu'à maintenant je trouve aucun problème. J'ai commencé une fois à lire ce livre il y'a quelques années en désordre, j'ai appris grâce à ce livre les variétés de Schubert, les moduli spaces, ... etc, je l'ai entrepris en désordre, c'est pourquoi j'ai une idée assez claire du contenu du livre, c'est pourquoi je le trouve facile à aborder maintenant.
    ok sinon pour ceux que ça intéresserait http://www.five-dimensions.org/Textbooks/ c'est free
    Dernière modification par mtheory ; 19/02/2018 à 21h07.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  17. #16
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Bonjour,

    Merci mtheory pour ces ouvrages à libre accès.
    Si j'aurais du temps prochainement, je les lirai.

    J'ai une autre question à vous soumettre tous chers forumeurs :

    Si l'on croit à wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Group_object :

    Définition :
    A group object in is an object of together with morphisms
    - ( thought of as the "group multiplication" )
    - ( thought of as the "inclusion of the identity element" )
    - ( thought of as the "inversion operation" )

    Alors, ce que je n'arrive pas comprendre est que un objet d'une catégorie est un ''group objet'' s'il appartient à une sous catégorie de comme objet de muni d'une structure de groupes dans , ou bien il appartient à une catégorie différente de qui contient les ''group objects'' telle que avec un foncteur d'oubli ?

    Merci d'avance.

  18. #17
    azizovsky

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    ad hoc, catégorie des groupe abéliens (C') et celle des groupe non abéliens (C) , F(C')=C oublier la commutativité ...

  19. #18
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Alors, ce que je n'arrive pas comprendre est que un objet d'une catégorie est un ''group objet'' s'il appartient à une sous catégorie de comme objet de muni d'une structure de groupes dans , ou bien il appartient à une catégorie différente de qui contient les ''group objects'' telle que avec un foncteur d'oubli ?
    Ni l'un ni l'autre, un objet groupe dans une catégorie c'est l'objet qui est défini plus haut, bien sur les applications sont soumises à des conditions. Point. Ça n'a même pas besoin d’être un objet d'une catégorie ensembliste, i.e qui admet un foncteur fidèle vers la catégorie des ensembles.
    Cela confère une structure de groupe fonctorielle sur les points d'un objet groupe à valeur dans n'importe quel objet.
    Dernière modification par AncMath ; 20/02/2018 à 18h16.

  20. #19
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Ni l'un ni l'autre ...
    Ce qui me laisse dire que c'est un des deux est l'exemple suivant dont parle wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Group_object :

    An algebraic group is a group object in the category of algebraic varieties. In modern algebraic geometry, one considers the more general group schemes, group objects in the category of schemes.

    Donc, wikipedia confirme qu'il s'agit de l'un des deux, mais, je ne sais pas lequel des deux :
    An algébraic group est un group objet ( de la catégorie des groupes algébriques ) dans la catégorie des variétés algébriques .
    Alors, j'ignore quel lien entre et .
    est ce qu'on a : ou bien avec un foncteur d'oubli fidèle différent de l'inclusion ?. Pour dire finalement que et sont deux catégories disjointes.
    A mon avis, il s'agit simplement d'une sous catégorie par l'inclusion fonctorielle, non ?
    Dernière modification par Anonyme007 ; 20/02/2018 à 19h28.

  21. #20
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    C'est le pire exemple que tu pouvais donner un schéma en groupe ou un groupe algébrique, c'est à dire un objet groupe dans la catégorie des schémas ou des variétés, n'a pas du tout de structure de groupe sur l'ensemble sous jacent. Wiki ne dit rien de tel...
    Pourquoi vouloir "inventer" des choses farfelues. La définition t'a été donnée.
    Dernière modification par AncMath ; 20/02/2018 à 19h52.

  22. #21
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Un objet groupe dans une catégorie C c'est simplement un objet muni d'application etc... tel que le foncteur des points ait une structure naturelle de groupe.

  23. #22
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    ... un objet groupe dans la catégorie des schémas ou des variétés, n'a pas du tout de structure de groupe sur l'ensemble sous jacent. ...
    Je ne comprends pas bien cette phrase ... Ce n'est pas facile à saisir pour moi ça ... Tu dis la chose et son contraire ... C'est comme tu me dis un groupe n'est pas du tout un groupe ... est ce que ça a un sens ?
    Tu voulais dire que un objet group dans la catégorie des variétés algébriques n'est pas du tout un groupe algébrique ?
    Dernière modification par Anonyme007 ; 20/02/2018 à 20h15.

  24. #23
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    T'inquiète pas AncMath, je comprends ce que tu voulais dire :
    Tu voulais dire que la catégorie des objets group par rapport à la catégorie des schémas ou la catégorie des variétés algébriques est ce que la catégorie des motifs purs par rapport à la catégorie des variétés projectives lisses, non ?
    La catégorie des motifs pures est une catégorie à part entière indépendante de la catégorie des variétés projectives lisse malgré qu'il existe un foncteur ( pas un foncteur d'oubli ( fidèle ou non ) , mais un foncteur quant meme qui les met en liaison ) d'une de ces deux catégories vers l'autre, non ?
    Dernière modification par Anonyme007 ; 20/02/2018 à 21h01.

  25. #24
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Non, ca n'a rien à voir, du tout.
    Maintenant si tu as un objet groupe X dans une catégorie C, alors bien sur que X est... un objet de la catégorie C. C'est dans la définition. C'est ça ta question !?
    Dernière modification par AncMath ; 21/02/2018 à 08h57.

  26. #25
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Non, ca n'a rien à voir, du tout.
    Maintenant si tu as un objet groupe X dans une catégorie C, alors bien sur que X est... un objet de la catégorie C. C'est dans la définition. C'est ça ta question !?
    Non. J'ai une catégorie avec objets . Si on munit ces objets maintenant d'une structure d'objet groups Est ce que alors : sont maintenant toujours des objets de , ou bien appartiennent désormais à une nouvelle catégorie distincte de la catégorie ?
    Dernière modification par Anonyme007 ; 21/02/2018 à 11h10.

  27. #26
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Oui, donc c’était bien ta question...
    Je vais arreter de perdre mon temps, c’est domage tu evoques des sujets intéressants dans tes messages, mais a chaque fois ils ne servent a rien a part poser des question genrales et triviales avec lesquelles les objets évoqués n’entretiennent aucun rapport specifique.
    Comme si on introduisait l’hypothese de riemann pour a la fin demander «*pourquoi 8+5=9?*».
    Je suis desole mais ce genre de dialogue ne m’intéresse pas.

  28. #27
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris


    Oui, je sais, je pinaille à chaque discussion sur des points futiles, mais tout ce que je voulais savoir à la fin, en conjecture de Hodge, est-t-il permis de trouver des classes de Hodge qui proviennent de cycles algébriques dont le support est formés de groupes algébriques au lieu tout simplement de sous variétés projectives, puisqu'on peut considérer les groupes algébriques des objets groupes qui sont bien des éléments de la catégorie des variétés algébriques. est ce qu'il est permis de faire ça. Voilà où j'en voulais venir.

  29. #28
    Médiat

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Citation Envoyé par mtheory Voir le message
    ok sinon pour ceux que ça intéresserait http://www.five-dimensions.org/Textbooks/ c'est free
    Merci de ce lien, mais qu'est-ce que c'est mal écrit !

    Manque de parenthèses essentielles, apparition de variables non définies, ou non utilisées, changement de notation (k1 qui devient ki, puis qui devient k (en 2 lignes)), des phrase incompréhensibles pour moi :
    Si p et q sont tous les 2 premiers et que q divise p pour un i >= 1 alors p=q
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  30. #29
    Anonyme007

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Bonjour,

    Voici une autre question différente :

    D'après Joe Harris :
    Soit une variété projective.
    Alors on se demande combien d'hypersurfaces de degré pour chaque degré , contiennent .
    Autrement dit, pour chaque , quelle est la dimension de l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré s'annulant sur ?.
    Pour cela, on construit une fonction qui s'appelle par convention fonction de Hilbert de ., en posant , la codimension dans l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré sur , de son sous espace formé de ceux s'annulant sur .
    C'est à dire : où : est l'anneau des coordonnés homogènes de , et le subscript : est le - ième morceau gradué de .

    Alors, ma question, si consiste en trois points de , pourquoi alors : nous informe exactement quant ces trois points sont colinéaires ou non ? .
    Pourquoi, alors :

    Pourquoi d'autres part, quelques soit la position des trois points ?

    Merci infiniment pour votre éclairage.

  31. #30
    AncMath

    Re : Géometrie algébrique à la Joe Harris

    Par 3 points alignés il passe combien de droites ? Par 3 points non alignés il passe combien de droites ?

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