Geometrie algébrique

invitecbade190 · 09/09/2015, 13h20

Bonjour à tous,

Est ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi une variété algébrique est un schéma non réduit de type fini ?
Dans le Harshtorne, il y'a longtemps, j'ai vu comment on plonge la catégorie des variétés algébriques dans la catégorie des schémas, mais, aujourd'hui, je voulais me familiariser plus avec cette notion qui me fascine énormément. Pourquoi elle est réduit et de type fini ?

Merci d'avance.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 11h27

Bonjour,
Quelle est ta définition de variété algébrique?

invitecbade190 · 10/09/2015, 11h38

Salut :

Une variété algébrique est pour moi un espace localement annelé $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ -algèbres qui admet un recouvrement fini par des ouverts affines $\text{[math]}$ (c'est-à-dire que l'espace $\text{[math]}$ est une variété affine).
Une variété affine est le lieu d'annulation d'un certain nombre fini de polynômes : $\text{[math]}$ . J'utilise aussi sa déclinaison schématique qui est l'objet : $\text{[math]}$ pour lire un peu sur ce qui se passe en théorie des schémas.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 11h40

En l'etat ta prelière definition n'a aucun sens.
Une variété est définie comme une schéma de type fini, reduit (parfois geometriquement réduit, parfois intègre voire geometriquement intègre) sur un corps.
On peut donner d'autre définitions, et voir dans quelles mesures elles sont equivalentes à celle donnée plus haut, mais pour ca faudrait que tu donnes une telle autre définition (correcte je veux dire).

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invitecbade190 · 10/09/2015, 11h42

C'est ce que je cherche à comprendre, pourquoi une variété est un schéma de type fini ?.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 11h44

Ptetr, parce que c'est défini comme ca?

invitecbade190 · 10/09/2015, 11h48

Il faut peut être établir que, en sens équivalent, que le morphisme : $\text{[math]}$ est un morphisme de type fini de schémas, mais, je ne sais pas pourquoi.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 11h51

Spmax(ton truc) n'est pas un schéma.
Par contre le fait que l'algèbre k[x_1,...,x_n]/I soit une k-algèbre de type fini est évident (enfin necessite quand meme un resultat de Hilbert sur la noetheriannité).

invitecbade190 · 10/09/2015, 12h05

Envoyé par MiPaMa

Spmax(ton truc) n'est pas un schéma.
Par contre le fait que l'algèbre k[x_1,...,x_n]/I soit une k-algèbre de type fini est évident (enfin necessite quand meme un resultat de Hilbert sur la noetheriannité).

Ah d'accord, je crois avoir saisi ton astuce : $\text{[math]}$ est de type fini si $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$ est une $\text{[math]}$ - algèbre de type fini ?
Pour moi $\text{[math]}$ est une variété algébrique donc, c'est un schéma, pourquoi tu affirmes que non ? Je ne comprends pas le lien avec la noethériannité, tu fais allusion à la Nullstellensatz ? Laquelle : la faible, l’intermédiaire, ou la forte ?

invite47ecce17 · 10/09/2015, 12h21

Non, Specmax(machin) n'est pas un schéma. Un schéma c'est localement isomorphe à un spectre, pas un spectre maximal.
Quand on dispose d'une k-algèbre de type fini, on peut regarder son spectre, ou son spectre maximal. Certains auteurs reservent l'appelation variété algébrique (affine ici en l'occurence) au seconds objets, une variété algébrique est un espace localement annelé (quasi compact), localement isomorphe au spectre maximal d'une k-algèbre de type fini (eventuellement reduite etc...) muni de son faisceau structural. D'autres auteurs appellent variété algébrique un espace localement annelé (quasi compact) localement isomorphe au spectre d'une k-algèbre de type fini (eventuellement reduite etc...) muni de son faisceau structural.
Les secondes sont des cas particulier de schéma, pas les premieres. Il y a néanmoins une equivalence de catégorie entre les deux catégories d'objets (Var alg avec la premiere definition, et la seconde donc).

Non, je ne fais aucune allusion au Nullstellensatz.

invitecbade190 · 10/09/2015, 12h34

Merci.
Pourquoi une variété algébrique est réduite, c'est à dire, elle ne contient pas de nilpotents ?
Merci d'avance.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 12h35

Parce que c'est dans la définition...

invitecbade190 · 10/09/2015, 12h43

Oui, mais qu'est ce qui se passe lorsque il y'a des nilpotents dans la variété algébrique, Moi, j'ai lu à plusieurs reprises, que il existe une correspondance bijective entre les fermés d'un schéma $\text{[math]}$ , donc qui se regroupent dans $\text{[math]}$ est les idéaux qui vérifient : $\text{[math]}$ . Mais, si $\text{[math]}$ , ça veut dire que, lorsqu'on passe au quotient : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , on tue les nilpotents, et donc : $\text{[math]}$ . Voilà, je pense avoir compris un peu. Donc, en général, il y'a le schémas, c'est à dire le spectre d'un anneau, et lorsqu'on tue les nilpotents, le schéma se réduit à une variété algébrique. Tu es d'accord ?

invite47ecce17 · 10/09/2015, 12h48

Non, c'est n'importe quoi.

invitecbade190 · 10/09/2015, 12h49

Tu expliques ?

invite47ecce17 · 10/09/2015, 12h52

Expliquer quoi exactement?

invitecbade190 · 10/09/2015, 12h54

M'expliquer le passage où je dis n'importe quoi. Tu me dis, ici tu dis n'importe quoi parce que ... Voilà ... voilà ...

Merci d'avance.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 12h56

Ben tu dis n'importe quoi, parce que ce que tu ecris est faux/n'a pas de sens.

invitecbade190 · 10/09/2015, 13h00

Qu'est ce qui se passe s'il y'a des nilpotents dans la variété ? Pourquoi, ça ne devient pas dans ce cas là une variété ?

invite47ecce17 · 10/09/2015, 13h03

M'enfin.... tu lis ce que j'ecris? Certains auteurs choisissent d'appeler variété un schéma de type fini sur un corps qui soit réduit. Pour ceux la si "y a des nilpotents dans la variété" (ce qui ne veut rien dire au passage) i.e si le faisceau structural possède des tiges non réduites alors le schéma n'est pas une variété. Pour d'autre auteurs, la condition de reduction n'est pas spécifiée, alors les schéma de type finis sur un corps sont des variétés, qu'ils soient réduits ou pas.
Et ce serait pas mal de fixer un choix et de choisir si tu veux travailler avec des spectres maximaux, ou des spectres. ON ne fait pas les deux en meme temps. Le cadre le plus souple est bien sur le second.

Ta question est aussi profonde que "qu'est ce qui se passe dans un groupe abélien quand des elements ne commutent pas".

Edit: Voila la convention que je te propose d'adpoter, appelle schéma algébrique, un schéma de type fini sur un corps, et variété algébrique un schéma algébrique intègre. C'est la convention usuelle.

invitecbade190 · 10/09/2015, 13h06

D'accord. Merci.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 13h56

Au passage, as tu compris pourquoi k[X_1,...,X_n]/sqrt(I) est une k-algèbre de type fini? Ce qui est finalement le seul truc à démontrer de toute la discussion.

invitecbade190 · 10/09/2015, 14h14

Non, pas du tout. J'ai réfléchi un peu mais sans parvenir à grande chose.

invitecbade190 · 10/09/2015, 14h43

Tout quotient d'une algèbre de type fini par un idéal est une algèbre de type fini.

invitecbade190 · 10/09/2015, 15h53

Bonjour,

Est ce que, "par définition", $\text{[math]}$ est de type fini, si $\text{[math]}$ est une $\text{[math]}$ - algèbre de type fini ?

Merci d'avance.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 16h20

Ca dépend de ta définition, evidement. Mais ca peut etre le cas.

invitecbade190 · 10/09/2015, 16h32

Ben, dans mon cours, il est dit que : $\text{[math]}$ est un foncteur contravariant qui induit une bijection : $\text{[math]}$ . Donc, je me dis si $\text{[math]}$ est de type fini, alors, forcement, $\text{[math]}$ est de type fini, non ? Donc, ce n'est pas par définition que nous affirmons ça, mais plutôt par cette bijection, non ?
Merci d'avance.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 16h34

Ben ouvre un bouquin de geometrie algébrique, regarde la defintion de morphisme de type fini et réfléchi

invitecbade190 · 10/09/2015, 16h58

Je sais maintenant ce qu'est un morphisme de type fini, mais il y'a juste un tout petit truc que je ne comprends pas dans cette définition.
Si on suppose que $\text{[math]}$ est un morphisme de schémas de type fini, alors, par définition, $\text{[math]}$ est localement affine + $\text{[math]}$ est de type fini. Par quel moyen démontrions nous souvent que : $\text{[math]}$ est de type fini. Parce que, je cherche à partir de cette définition que : $\text{[math]}$ est de type fini. Tu affirmes que : $\text{[math]}$ n'est pas un schéma, bref, je ne comprends pas comment établir à partir de la définition, qu'une variété est un schéma de type fini. Toi, tu affirmes que c'est par définition, et que ça dépend des auteurs, mais, je ne suis pas convaincu.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 17h05

Envoyé par chentouf

alors, par définition, $\text{[math]}$ est localement affine

C'est quoi localement affine? Si c,est que l'image reciproque d'un ouvert affine est affine, alors on dit affine, et les morphismes de type fini ne le sont pas en general. Si c'est que l'image reciproque d'un ouvert affine peut etre recouvert par des ouverts affines alo c'est le cas de tout morphisme de schéma.
Bref c'est une notion qui n'existe pas.

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