Equation differentielle non linéaire

[Kiramed]

Bonjour Je suis bloqué devant une équation différentielle qui me perturbe depuis un bon moment:

Intégrer l'équation différentielle: x=y'+sin(y')


Merci de me répondre !!
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[invite63e767fa]

x=y'+sin(y') est une équation différentielle à variables séparées, c'est à dire du genre x=f(y').
La méthode analytique habituelle consiste à exprimer la fonction réciproque, soit y'=g(x). La fonction g est la fonction réciproque de f.
Ensuite, on intègre g(x), ce qui donne y(x)=g(x)dx + constante.
Du moins quand tout ceci est possible, c'est à dire lorsque la fonction réciproque est une fonction répertoriée ou une combinaison de fonctions répertoriées.
Ce n'est pas le cas pour la réciproque de la présente fonction f. Donc on ne peut pas exprimer les solutions de cette équation différentielle selon une formule comportant un nombre fini de fonctions élémentaires et/ou de fonctions spéciales répertoriées.
En pratique, cela veut dire que l'on utilisera une méthode numérique de résolution.

[Kiramed]

Merci !!!!!!!!!!!!!!!

[Kiramed]

Merci, j'ai arrivé a trouver cette équaton-diff dans un QCM sous cette forme et j'arrive toujours pas a la résoudre.

Choisir la bonne réponse.

- Une Solution de l'équation différentielle x=y'+sin(y') est:

A. x=t+sin(t) , y=t²/2 + t sin(t) - cos(t) , t∈R

B. x=t+sin(t) , y=t²/2 - t sin(t) - cos(t) , t∈R

C. x=t+sin(t) , y=t²/2 - t sin(t) - cos(t) , t∈R

D. x=t+sin(t) , y=-t²/2 + t sin(t) + cos(t) , t∈R


Avec la méthode Svp !!!!! et Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Ta question : << Intégrer l'équation différentielle: x=y'+sin(y') >> est mal posée.
On ne te demande pas de calculer la solution y(x), ce qui n'est pas faisable comme je l'ai dit.
Ce qui est demandé, c'est une solution paramétrique, c'est à dire sous la forme :
x=x(t) et y=y(t), avec un paramètre t (ce que tu n'avais pas dit et qui est très important ).
En fait, on te donne plusieurs solutions dont il faut vérifier si elles sont exactes ou fausses.
Dans les quatre cas : x(t)=t+sin(t).
En comparant avec l'équation différentielle x=y'+sin(y'), on voit que t=y'=dy/dx
If faut donc calculer dx et dy et vérifier si l'on obtient bien dy/dx=t , ou si dy/dt est différent de t, ce qui correspond à une solution fausse.
Par exemple dans le cas A :
x(t)=t+sin(t) et y(t)=t²/2+t sin(t)-cos(t)
Donc, en différenciant :
dx=( 1+cos(t) )dt
dy=( t+sin(t)+t cos(t)+sin(t) )dt
y'=dy/dx =( (t+t cos(t)+2sin(t) )/( 1+cos(t) )
Cela ne se simplifie pas. On voit donc que dy/dx n'est pas égal à t. Donc la solution A est fausse.
Fait la même chose pour les autres solutions B, C et D.

Remarque: il y a des erreurs de recopie dans tes équations. Par exemple B et C sont exactement pareilles, ce qui n'est pas normal. Vérifie tous les signes dans les quatre cas.

[Kiramed]

Oui ta raison j'ai fait des copier coller j'ai modifié y mais j'ai oublié de modifier le x

Voila:

A. x=t+sin(t) , y=t²/2 + t sin(t) - cos(t) , t∈R

B. x=t+sin(t) , y=t²/2 - t sin(t) - cos(t) , t∈R

C. x=-t+sin(t) , y=t²/2 - t sin(t) - cos(t) , t∈R

D. x=t-sin(t) , y=-t²/2 + t sin(t) + cos(t) , t∈R

Je vais essayer de faire ce que tu ma demander Merci infiniment

[Kiramed]

J'ai essayé de faire ce que tu ma montrer, j'ai trouvé que B aussi c pas la bonne. car dx=(1+cos(t))dt et dy=t(1-cos(t))dt
donc dy/dx= t(1-cos(t))/(1+cos(t))

Pour C et D on a plus y'=t donc je sais plus quoi faire. Merci de me éclairer

Pour D on peut faire x=t+sin(-t) mais sa donne rien aussi !!

[invite63e767fa]

La solution paramétrique de x=y'+sin(y') est :
x(t)=t+sin(t)
y(t)=t²/2+t sin(t)+cos(t)
Bien sûr, c'est la même solution en prenant T=-t pour paramètre, ce qui correspond à :
x(T)=-T-sin(T)
y(T)=T²/2+T sin(T)+cos(T)
Si l'une ou l'autre de ces deux formes équivalentes n'est pas parmi les choix proposés, c'est qu'il y a une faute de frappe dans l'énoncé du problème ou dans la recopie.

Pour calculer la solution sous forme paramétrique (sans avoir de choix donné), on fait :
y'=dy/dx=t
x=y'+sin(y')=t+sin(t)
dx=(1+cos(t))dt
dy=t dx = (t+t cos(t))dt
on intègre, ce qui donne :
y=t²/2+t sin(t)+cos(t)

[Kiramed]

Oki merci j'ai bien compris, la faute de frappe est dans l'énoncé