Question honteuse sur les distributions

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

voila je viens de voir les distributions et j'ai un peu honte (pour ne pas dire beaucoup... ne riez pas s'il vous plait ) de la question que je vais vous posez :

voila je sais que représente l'ensemble des fonction de telles que leur dérivées première soit aussi dans ce que je ne comprend pas c'est pourquoi a t-on besoin d'être dans ? en quoi ça nous sert ? par exemple si on considère l'EDO suivante :

y'+3y = 0 il est évident que l'on va imposer que les fonctions solutions de cette EDO soient au moins sur l'intervalle étudié car sinon parler de y' n'a pas de sens pour une fonction qui n'est pas de classe .

De la même manière j'aimerai qu'on me dise pourquoi on a nécessairement besoin d'avoir des fonction dans ?

Merci beaucoup !!!!
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas trop ton souci. Quel rapport entre ton équation différentielle (dont les solutions non nulle sur ne sont pas dans ) et les distributions ? Quant à ), c'est un espace de fonctions qui peut être bien utile. Si tu es sur un passage dans lequel il est utilisé, vois dans la suite en quoi ça intervient. Mais les définitions de et ne posent aucun problème.

Cordialement.

[Tryss2]

L² est un espace intéressant, car il correspond souvent aux solutions d’énergie finie d'un point de vue physique.

[TCHAPAIEV]

Il n'y a aucune honte ; le fait de travailler dans L² et généralisations permet justement de s'affranchir de conditions de dérivabilité a priori !!!!par exemple pour que l'équation d/dx f = f ait un sens il suffit dd'imposer que f soit C1 mais en fait faire cette hypothése entraîne aussitôt que si f est C1 elle est C infini !!!!OK ; existe t-il des solutions de cette équation différentielle qui ne soient PAS C1? a priori toute soultion DOIT être dérivable mais si elle l'est alors elle est continue et donc C1; bon on peut continuer , il n'existe pas de raison a priori pour que l'équantion différentielle IMPOSE des conditions de régularité aux solutions et la preuve est que l'unique soltiuon à constante près de l'équantion ci dessu est en fait ANALYTIQUE donc bien plus réguliére que Cinfini ; or ça ça ne se voit pas directement ; et là j'ai pris un exemple beaucoup trop simple ; à plusieurs varaibles on voit tout de suite qu'imposer des conditions a priori sur les solutions conduit à un parfait arbitraire ; l'ordre des dérivations compte sauf pour des fonctions C² etc.;par contre trvailler dans L² est une limitation certes mais qui a un sens car EN UN CERTAIN SENS L² est un espace COMPLET , on peut approximer etc....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Salut,

Je ne sais pas si ce que je vais vous dire est utile ou inutile. Mon niveau s'arrête en théorie des distributions. ( Avec juste quelques pré-prequis très infime en espaces de Sobolev )
Moi, avant même d'étudier la théorie des distributions, j'ai suivi un cours à la fac sur la théorie de la mesure, et je me souviens une fois, notre prof nous a dit, que les espaces sont les plus utiles en analyse, même plus que les autres avec , car d'abord, est un Hilbert donc possède une norme qui dérive d'un produit scalaire, et qui dit produit scalaire dit projection par rapport à une base ( orthonormé pour cette espace si je ne m'abuse ). Bref, puisque est séparable pour un certain que j'ai oublié son type, si on essaye de résoudre une équation différentielle au sens des distributions, alors, on peut trouver ces solutions qui s'expriment dans cette base, et leurs projection par le produit scalaire, donne des coefficients qui ne sont autres que des transformées de Fourier de la fonction suivant la base. Donc, on obtient des solutions qui s'expriment comme une série de Fourier, donc, il y'a plein de propriétés qui marque ces séries facile à manipuler, d'où leur utilité en analyse et en théorie des équations différentielles partielles.

[TCHAPAIEV]

Pas inutile mais hors sujet ; les séries sur une base othonormale de L² ou H² , hum!!!!!! faciles à manipuler , surement pas ; l'utilité des espaces en question pour les pbs d'EDP c'est ce que j'ai dit. Déjà les séries de Fourier standard c'est tout sauf simple mais pour de s fonctions PERIODIQUES , c'est NATUREL , pas du tout pour le cas considéré ici ; la transformation de Fourier qui s'applique pour L²(U) U ouvert standard n'a RIEN à voir avec la base orthonormale en question ; on ne sait pas expliciter cette base ; on ne sait que très peu de choses sur les coefficients (en génaral ) ; donc absolument RIEN à voir

[invite82078308]

Pas inutile mais hors sujet ; les séries sur une base othonormale de L² ou H² , hum!!!!!! faciles à manipuler , surement pas ; l'utilité des espaces en question pour les pbs d'EDP c'est ce que j'ai dit. Déjà les séries de Fourier standard c'est tout sauf simple mais pour de s fonctions PERIODIQUES , c'est NATUREL , pas du tout pour le cas considéré ici ; la transformation de Fourier qui s'applique pour L²(U) U ouvert standard n'a RIEN à voir avec la base orthonormale en question ; on ne sait pas expliciter cette base ; on ne sait que très peu de choses sur les coefficients (en génaral ) ; donc absolument RIEN à voir

D'accord sur le fond, mais une sérieuse remarque sur la forme. Parler de la base etc n'a de sens que si cette base est explicitée (dans un espace de Hilbert il y a plusieurs bases , et même beaucoup).
Or vous expliquez qu'on ne peut expliciter une telle base.

[invitecbade190]

Par exemple, dans qui est de base hilbertienne : avec : , on a : : et .
On utilise abondamment ça même en théorie quantique, sans même parler d'analyse ou de distributions ou d'espaces de Sobolev, il suffit de jeter un œil sur n'importe quel cours de physique quantique pour comprendre ça, sans avoir de bases solide en analyse.

[TCHAPAIEV]

J'ai parlé de LA BASE EN QUESTION ; bien évidemment il ya "plusieurs" bases orthonormales ........ et je ne suis pas d'accord sur le fait qu'on DOIVE expliciter la base en question sinon ça "ne sert à rien" ; dans la cas de la théorie générale par exemple de noyaux reproduisants c'est l'existence d'une telle base qui est utile et pas sa détermination explicite; quand au post suivant , il est hors champ car il parle de L² du TORE qui est compact ; si on a un espace L² sur un espace compact , les choses changent un peu ; dans ce cas on a l'analogue des séries de Fourier ce qui est naturel contrairement au cas des espaces non compacts ; de très nombreux exemples de bases hilbertiennes pour le cas compact existent et en particulier pour la théorie des groupes compacts; la théorie générale des représentations des groupes compacts a besoin de bases hilbertiennes non explicites et ces bases permettent la démonstration d ethéorémes fondamentaux sans qu'on les explicite ; ensuite évidement plus le cas est concret plus il ya d'information....

[invitecbade190]

Sauf erreur de ma part, expliciter la base en théorie des EDP est primordiale, car bon nombre d'EDP n'ont pas de solutions explicites en fonctions des fonctions usuelles, c'est pourquoi on a recours à déterminer les solutions sous forme de série de Taylor ou de série de Fourier. Cette idée a émergé suite à son analogue qui existe en théories algébriques et qui dit qu'il existe des fonctions transcendants qui ne peuvent pas être finement engendrés par des fonctions algébriques. C'est pourquoi on cherche à l'exprimer dans son complété projectif. En analyse, ce sont les hilberts qui sont complets. L'idée a commencé depuis que Galois, entre autres ( Abel ... etc ) a affirmé que les solutions des équations algébriques de degré ne peuvent pas être algébriques, mais analytiques transcendants. C'est à partir de ce moment là, que la vision du monde a changé en mathématiques, ça a bouleversé complètement les mathématiques. L'algèbre ne suffit pas pour traiter des problèmes en lien avec l'analyse.

[TCHAPAIEV]

Je ne comprends pas ce développement sans rapport avec le sujet ; tout le monde sait que l'algébre ne se réduit pas à l' analyse et inversement ...... Pour les EDP je suis évidemment d'accord mais quel rapport? tout ce que je dis est que les bases hilbertiennes sont utiles même si elles ne sont pas explicites

[invitecbade190]

Si tout le monde sait que l'algèbre ne se réduit pas à l'analyse, on aurait pas inventé par exemple la théorie des schémas qui est une théorie purement algébrique, mais qui algébrise la géometrie différentielle, c'est à dire de l'infinitésimale, c'est à dire l'étude des variétés topologiques où lisse ou analytique ou ce que tu veux qui sont des objets transcendants. Donc, tout le monde sait que l'algèbre ne se réduit pas à l'analyse n'a aucun sens.
Bref, pour rester dans le vif du sujet, est ce que tu sais qu'il existe un développement en série de Taylor pour les distributions. Si oui, alors, tu aurais compris qu'on peut mettre les solutions d'EDP qui sont des distributions sous formes de séries de Taylor. Mais, ce sont de vieux souvenirs, je ne peux pas vous en parler davantage, parce que il faut que j'aie recours à mon ancien cours que j'ai appris quant j'étais encore jeune pour t'en parler.

Edit : Pour ton infos, il y'a un théorie dit théorème de GAGA qui établit une équivalence de catégories entre un "monde" purement algébrique et un "monde purement" analytique à travers la théorie des faisceaux, donc à travers une façon plus concrète de voir les variétés de la géométrie différentielle. Ce résultat met le point sur l'idée que l'algèbre n'est autre que l'analyse et l'analyse n'est autre que l'algèbre. En mathématiques, il y'a et il restera toujours cette idée de confrontation entre ce qui est discret et ce qui est continue, entre ce qui relève de l'algèbre et ce qui relève de l'analyse.

[TCHAPAIEV]

Je n'ai pas l'intention de poursuivre cette discussion ésotérique ; mon niveau intellectuel est trop modeste pour suivre .

[invite82078308]

J'ai parlé de LA BASE EN QUESTION ; bien évidemment il ya "plusieurs" bases orthonormales ........ et je ne suis pas d'accord sur le fait qu'on DOIVE expliciter la base en question sinon ça "ne sert à rien" ; (...)

Les logiciens sont des emmerdeurs. Je n'ai pas dit "ça ne sert à rien" (non! ce n'est pas dans mon post.), mais je contestait l'usage de l'article défini "la" tel que vous l'avez fait.

[invite82078308]

En fait "LA BASE EN QUESTION" n'est pas une base et nous somme d'accord sur ce point il me semble .