Diverses question sur les distributions en Physique

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

Je souhaiterai éclaircir ma compréhension des distributions appliquées à la physique.

J'ai eu un cours de mathématiques l'année qui vient de se terminer sur cet outil, et je pense bien avoir compris comment les manipuler en maths (bon j'ai un peu oublié vu que c'était au début de l'année, mais en reprenant un cours je devrai m'y retrouver).

Néanmoins il y a certaines choses que je ne comprends pas sur leur manipulation et leur interprétation en Physique.

Par exemple, j'ai pu voir dans certains cours de Physique qu'on résout une équation différentielle au sens des distributions quand on ne sait pas la résoudre au sens des fonctions.
Mais je ne comprends pas le sens d'un tel calcul, pour moi fonctions et distributions sont deux objets bien différents.

De même, parfois dans un cours de Physique, on va travailler avec une distribution F et on va interpréter F' comme la variation de F, comme si F était une fonction "normale".
L'interprétation en terme de variation pour une fonction normale se comprend très bien avec la formule de la limite pour le calcul de la dérivée, mais pour une distribution c'est quand même bien différent (surtout que parfois on a F'(phi)=-<F,phi'> qui n'est pas toujours égal à <F',phi> dès qu'on s'éloigne des distributions régulières).

En fait l'idéal pour illustrer mon propos serait un cours de Physique qui fait appel aux distributions (avec des Dirac, des heaviside) mais je n'en ai pas sous la main.
Si vous avez un bon lien je le prends volontiers, ça me permettra d'y trouver des exemples afin de mieux illustrer ce que je veux dire.

Merci beaucoup.

Bonne soirée.
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[Resartus]

Il faut se rappeler que historiquement, les distributions ont été imaginées par des physiciens comme des passages à la limite de fonctions "normales", et c'est seulement plus tard que les mathématiciens comme Schwartz ont formalisé, avec l'apparition de cas pathologiques, qui fort heureusement n'apparaissent pas (en tout cas, à ma connaissance) dans les "vrais" problèmes physiques
Voyez si ceci peut vous convenir (chapitre 3)
http://www.lpthe.jussieu.fr/~zuber/Cours/L3_2013.pdf

[invite47ecce17]

Bonsoir,

(surtout que parfois on a F'(phi)=-<F,phi'> qui n'est pas toujours égal à <F',phi> dès qu'on s'éloigne des distributions régulières).

Si tu as lu ca dans un bouquin, tu peux le foutre au feu tout de suite.

[stefjm]

De même, parfois dans un cours de Physique, on va travailler avec une distribution F et on va interpréter F' comme la variation de F, comme si F était une fonction "normale".
L'interprétation en terme de variation pour une fonction normale se comprend très bien avec la formule de la limite pour le calcul de la dérivée, mais pour une distribution c'est quand même bien différent

Bonjour,
Je te fais une réponse à l'arrache, version physicien puisque la question de maths est posée coté physique.

Les conditions pour dériver (continuité) sont plus strictes que celles pour intégrer (continuité par morceau).
Il est donc naturel pour un physicien de chercher à remplacer les dérivées par leur "équivalent" en terme d'intégrations.
La relation qui donne la dérivée d'un produit et donc l'intégration par partie est donc bien pratique pour cela.
D'où la dérivée des distributions qui fait un peu parachutée lorsqu'on la rencontre pour la première fois. (Surtout si cela va vite...)

F'(phi)=-<F,phi'>

Un autre aspect de ceci est l’échantillonnage d'un signal continu par multiplication par un dirac.. La prise d'énergie par cet échantillonnage se modélise très bien ainsi.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Les conditions pour dériver (continuité)

Aïe !
Ouille !

[stefjm]

Aïe !
Ouille !

A plus forte raison si on veut la même dérivée à droite et à gauche.

"Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n'ont point de dérivées"

[stefjm]

Y a t il des liens intéressants entre https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...part_dérivable et distributions?

[azizovsky]

Salut, ''Lorsque Laurent Schwartz a présenté la théorie des distribution, ce résultat a semblé particulièrement merveilleux à l'assemblée: toutes les distributions sont INFINIMENT dérivables et leurs dérivées successives sont elles-mêmes des distributions.''

Ainsi, si l'on prend une fonction localement sommables, aussi irrégulière soit-elle, sa distribution associée, elle, est infiniment dérivable.

C'est là une des grandes forces de la théorie des distribution. (Mathématiques pour la physique..., Walter Appel)

[azizovsky]

selon Vladimir Arnold , l'apparition des distributions (fonctions des domaines en phyisque) d'après Laurent Schwartz est en 1916, l'inventeur est un russe Gunter et après son élève Sobolev (1934), il les a publié dans une langue inconnu .... (en français )

[invite8f6d0dd4]

Salut !
Juste pour dire que j'ai bien lu vos réponses et que j'ai en fait posté côté maths car j'avais certaines questions en rapport avec les maths (mais j'en ai aussi pas mal en rapport avec la physique dans le topic du côté maths).

Je me suis dit après coup que pour avoir le plus de réponses sur les deux aspects il valait mieux poster sur l'autre forum.

Donc pour ceux qui veulent suivre le post ça se passe côté maths

http://forums.futura-sciences.com/#/...?forcenoajax=1

Voilà merci (et désolé pour le double post, mais j'arrête de suivre ce topic ci).
++

[stefjm]

Salut, ''Lorsque Laurent Schwartz a présenté la théorie des distribution, ce résultat a semblé particulièrement merveilleux à l'assemblée: toutes les distributions sont INFINIMENT dérivables et leurs dérivées successives sont elles-mêmes des distributions.''
Ainsi, si l'on prend une fonction localement sommables, aussi irrégulière soit-elle, sa distribution associée, elle, est infiniment dérivable.
C'est là une des grandes forces de la théorie des distribution. (Mathématiques pour la physique..., Walter Appel)

Merci azizovsky.
On retrouve cette infinie dérivabilité avec les fonctions holomorphes.
Je comprend mieux les liens qu'il peut y avoir entre les les distributions et les transformées intégrales vers le plan complexe du genre Fourier et Laplace.

C'est intéressant ces singularités:
Pour l'éhelon de Heaviside, discontinuié en zéro, devient 1/p en TL avec un pôle en 0.
Pour l'impulsion de Dirac, discontinuioté de la dérivée en zéro, devient 1 en TL (et TF), élément neutre des produits., et plus aucun pôle.

@freemp :
Le dirac est l'élement neutre de la convolution, de la même manière que 1 est l'élément neutre des fonctions de transfer en TL ou TF.
C'est le signal le plus simple et le plus économique pour obtenir toutes les informations sur un système. (sa réponse impulsionnelle)

Voilà merci (et désolé pour le double post, mais j'arrête de suivre ce topic ci).
++

Je trouve la réaction curieuse.
Le double post physique et mathématique me parait légitime.

Cordialement.