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distributions et physique



  1. #1
    alovesupreme

    distributions et physique


    ------

    bonjour,

    lisant plus des livres de physique que de maths, je ne suis pas tres a l aise avec les distributions.

    par exemple on utilise souvent [TEX]\delta (g(x)) [/TEX]
    comme notation de xi etant les racines de g. Or dans un livre un exercice demande de demontrer l'egalité.
    qu'en est il exactement.

    D autre part j'aimerais trouver un site qui indique clairement le lien entre ce type de distributions et les integrales de contour d une variable complexe par exemple
    merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    alovesupreme

    Re : distributions et physique

    desolé,

    j'étais plus concentré sur Latex que sur ce que j'écrivais!
    l'execice proposé consiste à établr que les etant les racines de g
    alors que je supposais c'était la definition de !

    je cherche en plus s'il existe une équivalence pour ce type de distribution avec des intégrales de contour. J'ai trouvé des exemples mais pas un exposé de type général sur ce sujet

    merci pour votre aide

  4. #3
    manup

    début de réponse

    (pardon pour le post précédent qui était une erreur de manip)

    Salut,
    J'ai failli ne pas poster en raison du latex, mais grâce au dieu copier-coller et au fait que j'ai moi-même une question vis-à-vis du sujet, j'ai pris mon courage à deux mains...
    Si par curiosité on "s'amuse" à calculer



    on trouve avec le changement de variable/définition suivant :



    que



    Or,



    d'où avec :



    ______________________________


    Soit el que la i-ème racine de g, admettons cependant que soit l'unique racine de g, on a



    avec tu peut aussi écrire que ce qui t'amène à comparer



    on en déduit donc que :



    ______________________________

    pour moi, ce n'est donc pas une def mais une conséquence des propriétés du delta de dirac.

    J'espère t'avoir un peu aidé mais je ne sais tout simplement pas écrire de façon raisonnée le . Je sais que c'est dû au fait qu'il y a plusieurs racines pour g, donc plusieurs i mais je ne sais pas pourquoi, je bloque.
    Si quelqu'un pouvais venir à la rescousse ce serais pas mal !

    Je pense par ailleurs qu'il doit y avoir un lien évident entre cette distribution et le théorème des résidus, d'où la somme sur des pôles et les intégrales de contour sur un domaine les englobants et une discontinuité sur la coupure , mais n'arrive pas à faire le rapport direct pour le moment. Je v donc essayer de voir (au cas d'un miracle)

  5. #4
    alovesupreme

    Re : distributions et physique

    Manup, Merci pour ta réponse.
    L’exercice proposé se trouve dans très bon livre intitulé « mathematical methods of physics » de Mathews et Walker. C’est d’ailleurs une reprise de cours du prix nobel de physique Feynman.
    L’expression exacte est avec une valeur absolue : ceci à cause des bornes d’intégration si g décroit en xi.
    par exemple
    =
    = f(0) et non -f(0).
    Il semble que ta démarche est la bonne.
    En cherchant une extension du sens de je viens de trouver dans un bouquin une définition générale qui va dans ce sens :
    Si v est une application linéaire tq f -> v(f) on lui associe l’application duale tv agissant sur les distributions : U ->tv(U) vérifiant <tv(U),f> = <U,v(f)>
    Par exemple si la distribution est définie par une fonction s(x) et v l’application linéaire qui à f(x) associe la fonction f(x/a +b)) on a <tv(s),f> = <s(x),f(b + x/a))> =|a| <s(a(x-b)),f(x)>
    Par analogie (définition) pour une distribution on prend les mêmes notations et l’on a :
    1/|a| < , f(b+x/a)> = f(b)/|a| = <,f(x)>

    Si g(x) est monotone sur un segment [a,b] et y a un pôle simple on peut considérer la distribution définie par en utilisant et elle done le résultat voulu (avec une valeur absolue) comme tu l'a montré . cette distribution peut s’écrire comme une somme de –inf à +inf de f(x) K(x) (K = 1 sur [a,b] et nul ailleurs). Tu as trouvé la valeur de l’accouplement de ces 2 distributions égales pour tout f..

    Tu dis qu’il y a un pb pour les g avec racines multiples.
    Il me semble que si l’on se restreint aux fonctions dérivables monotones par segments à 1 pôle simple par segment il n’y a pas de pb (par exemple avec un nombre de poles finis).
    En notant xi le pole de[ai,bi] (g’(a,) = 0, g’(bi)=0) on a = somme de 2 termes comme voulu etc.

    Tu parlais d'un sujet analogue qui t'interesse, peux tu formuler ta question

    merci à ceux qui voudraient bien corriger toutes mes erreurs et/ou qui ont des liens sur la question du rapport entre ces distributions et integraleq de contour.

  6. #5
    rvz

    Re : distributions et physique

    Bonjour,

    En fait, il n'y a pas de problèmes pour g avec racines multiples (A ce sujet, alovesupreme, je pense que Manup voulait dire et ). En fait, il me semble que tu montres juste, avec ton argument, que ce n'est pas une distribution dans ce cas.
    Cela est plutôt cohérent avec le fait que ton changement de variable mulitplie localement les aires par .
    Pour lovesupreme aussi, sache qu'il existe des fonctions ni croissate ni décroissante en un voisinage (peut-être à rajouter à la liste des contre exemples, Martini?). Par exemple,

    est continue, vaut 0 en 0, mais n'est monotone sur aucun voisinage de 0.
    Du coup, l'argument que tu utilises peut s'avérer foireux.
    Voici comment j'argumenterai.
    Désormais je suppose que g est C^1, que g n'a que des zéros simples, i.e. g(x_i) = 0, g'(x_i) différent de 0, et à priori i est dans N (avec ces hypothèses, c'est facile de voir qu'il n'y a au plus qu'un nombre dénombrable de zéro). Je me fixe un i. Alors en un voisinage de x_i, g est non nulle et défini un C^1 difféo par le théorème d'inversion locale sur un voisinage Vi de x_i qui ne contient aucun autre x_j. Je prends alors une fonction c_i cut-off qui coupe tout ce qui passe en dehors de V_i (= 0 sur le complémentaire de V_i ) et qui vaut 1 sur un voisinage de x_i dont la fermeture est incluse dans V_i.
    Je définis aussi une partition de l'unité telle (phi_i) telle que phi_i est nulle sur V_j, et vaut 1 sur V_i.
    Alors, il est facile de voir que

    à cause du support de (1-c_i) et de f \phi_i. Maintenant le calcul de Manup est vrai. On obtient alors le résultat en sommant tout ça et en utilisant la propriété fondamentale que la somme des \phi_i est constante =1.

    __
    rvz

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    alovesupreme

    Re : distributions et physique

    Bonjour,

    Il n’était pas dans mon intention d’ignorer voire de mépriser certaines fonctions!Je proposais seulement pour la définition de la notation de restreindre celle ci à un ensemble de fonctions g(x) bien précis. J’ai limité celles ci aux fonctions dérivables, monotones par intervalles, ayant une racine sur chacun de ces intervalles et dont la dérivée est nulle aux bornes des ceux-ci. Je rajouterais avec un nb fini de racines. Ce sont de telles fonctions que l’on trouve dans les applications physiques par exemple avec le cône de lumière dans l’espace-temps.
    L’intérêt de telles fonctions est qu’elles déterminent de façon unique une partition de R (tes phi_i) Sur chacun on peut définir par . On somme ensuite sur les phi_i.
    Il me semble qu’on a bien une définition d’ou découle l’égalité cherchée uniquement en utilisant les propriétés de\delta.
    A RVZ : peut on pour g quelconque donner une définition relarivement concise et avec quelles fonctions de test pour assurer que la série converge ?

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  10. #7
    rvz

    Re : distributions et physique

    Salut,

    En fait, je pense que Manup a démontré que avec une fonction g quelconque, ce n'est pas toujours une distribution, puisque ça explose sur certaines fonctions très régilières. On pourrait, comme tu le sous entend, limiter la définition à une sous classe de fonction test, mais je ne vois pas trop comment on pourrait faire ça en gardant une notion intéressante. Je m'explique : Les fonctions C^infini à support compact, c'est déjà très petit ! En plus, ici, il me semble que la preuve de Manup montre que ça n'a aucune chance d'être défini sur des fonctions analytiques non plus... Du coup, à part se restreindre à des fonctions qui valent 0 au voisinage de tout point où la fonction g s'annule, je ne vois pas ce qu'on peut proposer. Mais, évidemment, sur cet ensemble, ta pseudo distribution serait nulle !

    __
    rvz

  11. #8
    alovesupreme

    Re : distributions et physique

    RVZ salut,

    J'ai l'impression d'un dialogue de sourds.
    1) Je ne veux en rien limiter l'espace des foctions de test.
    ce que je limite c'est l'ensemble des fonctions g dans
    2) j' enregistre qu'il est inutile de chercher un définition pour tout g, ce que je ne proposais pas.
    3) là je te cite: "Un autre truc qui me fait toujours rigoler, c'est quand je regarde les physiciens faire des maths, mais je sais pas si on peut trouver un truc du type "Les perles des physiciens"..."
    N'étant ni physicien ni mathématicien,je fais partie d'un public (que j'aimerais appeler le "grand" public s'il était plus nombreux) qui s'intéresse aux sciences, je puis t'assurer que ta citation me désole par l'image qu'elle donne de certains scientifiques dans ce forum

  12. #9
    rvz

    Re : distributions et physique

    Salut !

    Citation Envoyé par alovesupreme
    RVZ salut,
    J'ai l'impression d'un dialogue de sourds.
    1) Je ne veux en rien limiter l'espace des foctions de test.
    ce que je limite c'est l'ensemble des fonctions g dans
    Ok, tu as raison, j'ai répondu à coté.
    3) là je te cite: "Un autre truc qui me fait toujours rigoler, c'est quand je regarde les physiciens faire des maths, mais je sais pas si on peut trouver un truc du type "Les perles des physiciens"..."
    N'étant ni physicien ni mathématicien,je fais partie d'un public (que j'aimerais appeler le "grand" public s'il était plus nombreux) qui s'intéresse aux sciences, je puis t'assurer que ta citation me désole par l'image qu'elle donne de certains scientifiques dans ce forum
    Effectivement, à la relecture de cette phrase, je m'aperçois à quel point elle peut sembler incroyablement puante, et je m'en excuse, et je suis convaincu que le contexte en atténuait fortement le sens. Evidemment, je ne dis pas "Les physiciens font n'importe quoi !", mais je suis souvent effaré devant les calculs faits en physique en général, et qui sont rarement justifiés.

    Je connais quantité de matheux qui essayent de prouver que certains passages à la limite ou autre manipulation potentiellement délicate sont pertinents. Moi même, j'essaye de démontrer que les algorithmes utilisés par les ingénieurs sont réalistes/justifiés/convergent bien... Et c'est ce qui fait à mes yeux l'intérêt de ce sur quoi je travaille.

    __
    rvz

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