Diverses questions basiques sur les distributions

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous.

Je suis entrain d'apprendre un cours sur les distributions et j'aurai plusieurs questions, je les poserai au fur et à mesure que j'avance quand j'aurai des problèmes.

Ma première question :

On appelle support d'une distribution T le complémentaire au plus grand des ouverts sur lequel cette dernière est nulle.

Si on appelle pas support de T l'ensemble sur lequel la distribution sera non nulle c'est parce que T peut être nulle sur certains points du support.
En effet, on peut toujours imaginer un point de la frontière du plus grand des ouverts sur lequel la distribution est nulle (ce point étant à la frontière il ne peut pas appartenir au plus grand des ouverts où T est nulle).

Est-ce bien cela ?

Par ailleurs, pourquoi on a pas défini le support d'une distribution comme étant l'ensemble des points pour lesquels T est non nulle ? Ça coïnciderait plus avec la notion intuitive qu'on s'en fait non ?
Y a t'il une raison à un tel choix ?

Merci.
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[inviteea028771]

Déjà, ça veut dire quoi qu'une distribution T est nulle sur un ensemble E?

Cela veut dire que pour toute fonction test phi définie sur E, <T,phi>=0

Maintenant parce que phi est C-infinie a support compact, donc on doit se restreindre aux E ouverts (sinon certains points de E sont "invisibles") de là il est facile de passer au complémentaire.

La définition "directe" serrait bien plus compliquée : Supposons que le support soit {0}, qu'est ce que ça veut dire ne pas être nul en 0 en terme de fonction test appliquée à la distribution?

Peut être un truc du genre "quelque soit U ouvert contenant 0, il existe une fonction test phi tel que <T,phi> != 0"

Et il faudrait reproduire ça pour tout les points du support... Pas très pratique a manipuler

[invite33c0645d]

Une bonne réflexion consiste à se poser la question du support dans le cadre de fonction (ce qui se représente "facilement"). Qu'est-ce que le support de manière intuitive pour une fonction continue ? C'est l'ensemble des x où f(x) != 0. Ok. On connait d'autre fonction ! Les application mesurables, intégrables ! Ce sont des fonctions, pourquoi ne définirait-on pas une notion de support ?

Pour des raisons d'EDP, et d'analyse un peu plus poussée, on demande à ce que le support soit un ensemble fermé. Si on défini le Supp(f) comme l'adhérence des points où f est non nulle, que se passe-t-il ? prenons f l'indicatrice des rationnels. Alors les points où f != 0 est l'ensemble des rationnels. Ainsi, Le support de f est R tout entier (Q est dense dans R). Où est le problème ? Lebesgue explique que les fonctions intégrable au sens théorie de la mesure doivent être vue comme des classe de fonction modulo des ensembles de mesure nulle (pour pouvoir faire de l'analyse!), et donc au sens de Lebesgue, f (définie précédemment) = 0. Donc la même notion intuitive de support nous dit que l'application caractéristique des rationnels à un support vide !

Comment remédier à ce problème ? Eh bien ce n'est pas compliqué quand on comprend ce qu'est un ensemble de mesure nulle, ... on a besoin de dire que f!=0 si cela est pour des points "visibles" comme le disait Tryss...