Quelques questions sur les distributions

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai suivi une petite introduction à la théorie des distributions, mais comme ce n'était pas vraiment le sujet du cours, il y a quelques points qui n'ont pas vraiment été détaillés. Principalement concernant la topologie que l'on définit sur (l'espace des fonctions à support compact définies sur un ouvert ).

Quelle est-elle précisément et pourquoi la choisit-on ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite76543456789]

Salut,
Pour les fonctions test a support compact fixé, tu défini la topologie par la famille infinie de semi normes classiques (les normes sup sur les derivées partielles d'ordre plus petite que p, pour p variant de 0 a l'infini).
Puis tu met la topologie de la limite inductive indexé par la famille des compacts inclus dans omega.

[Seirios]

Merci, je vais aller ouvrir quelques cours de topologie et je reviendrai sur cette définition.

En attendant, j'aimerais savoir en quel sens a-t-on l'inclusion ? Considère-t-on une injection continue de vers ou bien un isomorphisme (d'espaces vectoriels topologiques) ? (via l'application qui à l'application f associe la distribution ?)

[invite76543456789]

Heu, je comprends pas trop ta question, c'est une injection oui, continue certainement pas, puisque Lp est dense dans D'.
Et c'est certainement pas un isomorphisme non plus, y a beaucoup plus de distributions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

c'est une injection oui, continue certainement pas, puisque Lp est dense dans D'.

Je ne vois pas pourquoi la densité empêche la continuité...

Et c'est certainement pas un isomorphisme non plus, y a beaucoup plus de distributions.

Je voulais dire un isomorphisme avec l'image de l'application. Je me doute qu'il ne serait pas vraiment intéressant de définir les distributions pour retomber sur un espace Lp...

En fait, on a l'inclusion (au sens ensembliste) . est même dense dans , donc le dual de est inclus (toujours au sens ensembliste) dans . Or le dual de est isomorphe (en tant qu'espace de Hilbert) à . Donc il me semble que ma question revient à savoir si la topologie induite par l'espace des distributions sur Lp correspond à sa topologie naturelle.

[invite76543456789]

Me semble que Lp etant complet, si l'injection de Ld dans D' etait continue, son image serait fermée la dedans, mais elle est dense.
Donc oui la topologie sur D' restreinte a Lp n'est pas du tout la meme que celle sur Lp pour la norme Lp.

Pour le reste c'est Lp directement qui est inclus dans D' et pas son dual (topologique) (via l'application que tu as mentionné).

Et d'ailleurs la dualité "change le sens des fleches" si T est un sous truc de P alors le dual de T est un quotient de celui de P (et pas un sous truc, en tout cas pas naturellement).

[Seirios]

Me semble que Lp etant complet, si l'injection de Ld dans D' etait continue, son image serait fermée la dedans, mais elle est dense.

Lp est bien complet, je suis d'accord, mais l'image continue d'un complet n'est pas nécessairement fermée. Pour contre-exemple : si , alors ; pourtant, i est plus que continue, elle est même lipschitzienne.

[invite76543456789]

Je n'ai pas dit que l'image d'un complet etait fermée, mais si la topologie sur l'espace des distributions induisait la topologie de la norme p sur Lp alors celui ci serait fermé dans D', car muni de la norme p il est complet.
Cela dit je me rend compte que la topologie induite sur Lp pourrait etre plus grossière que la topologie de la norme p, ce qui rendrait l'injection continue sans que les topologies coincident.
Je pense que ce n'est pas le cas, j'y refelchirai demain.

[invite76543456789]

En fait je viens de me rendre compte que l'injection etait continue oui, désolé, j'etais a coté de la plaque! Cela dit, les topologies ne coincident pas, la topologie induite est effectivement plus grossière. Désolé de t'avoir induit en erreur.!

[Seirios]

En regardant dans quelques compléments, j'ai trouvée une justification permettant de justifier, au moins partiellement, la topologie utilisée :

Le premier réflexe serait sans doute de munir de la topologie associée aux semi-normes où est un compact, puis de considérer sur la topologie induite. Dans ce cas, est un espace de Fréchet (un espace vectoriel topologique localement convexe complet) mais l'adhérence de dans cet espace correspond à l'ensemble des applications tendant vers zéro en l'infini.
Mais on peut résoudre ce problème en considérant la limite inductive des , où est vu comme un sous-espace de . On trouve alors bien que est un espace de Fréchet.
Ensuite, on muni le dual topologique de la topologie associée aux semi-normes .

Je n'ai pas encore terminé de regarder en détail cette justification, mais c'est un bon point de départ.

Sinon, j'ai également trouvé que l'application était une injection continue. Pour la réciproque (en se restreignant sur l'image), j'ai effectivement bien l'impression qu'elle n'est pas continue, mais je n'ai pas encore trouvé un argument solide sur ce point. Tu en aurais un ?

[Arkhnor]

Bonsoir,

L'espace des fonctions tests muni de sa topologie limite inductive n'est pas un espace de Fréchet. (il n'est pas métrisable)
Il est en revanche localement convexe.

On a seulement inclusion continue des espaces L^p dans l'espace des distributions. Il suffit de trouver une suite de fonctions qui converge au sens des distributions vers 0, mais qui ne converge pas au sens L^p. (par exemple une suite orthonormale dans L^2, qui converge faiblement vers 0, donc aussi au sens des distributions, mais qui reste de norme 1)

Des références : le livre de Schwartz, ou encore "Topological vector spaces, distributions and kernels" de Trèves.

[Seirios]

Merci pour ces références, je vais regarder cela de près et je reviendrai ensuite.