Distributions ???

[invitefb95b365]

Bonjour,
j'ai beaucoup de mal à assimiler la notion de distribution et pour commencer ce "petit détail" me tourmente :

Une distribution T est définie comme étant une application linéaire de l'espace des fonctions infiniment dérivable et à support compact C_c^∞ dans R (je me restreins au cas de la dimension 1), ma question est : L'espace C_c^∞ étant inclus dans L² pouvons-nous alors appliquer le théorème de Riesz pour dire qu'il existe un unique f ∈ L² tel que
T(g)= <f,g> ?

Si c'est le cas je ne comprends pas et ne vois pas comment on peut trouver une fonction f ∈ L² telle que :
T(g)= <f,g> =g(0) c'est à dire dans le cas ou T correspond au dirac en 0 ?

Une âme charitable pour m'aider ?
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[gg0]

Bonjour.

la réponse est évidemment non, sinon on n'aurait pas besoin des distributions, les fonctions de L² existant déjà.

Cordialement.

[invitefb95b365]

Merci beaucoup ! Mais pourquoi on ne peut appliquer le théorème de Riesz dans ce cas la ?

[gg0]

Je ne sais pas quel théorème de Riesz tu voudrais appliquer, mais vérifie bien que les hypothèses sont présentes dans

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefb95b365]

Le théorème de representation de riesz appliqué a l'espace L2 muni de sa norme et ou et D est un sous-ensemble et la ce que je comprend pas c'est pourquoi on pourrait pas dire que les application T du dual de D ne correspondent pas à la restriction sur D des applications du dual de L2 ?

[inviteea028771]

Si l'espace E est inclus dans l'espace F, alors le dual de F est inclus dans le dual de E (c'est dans le sens contraire)

Toute forme linéaire sur F est aussi une forme linéaire sur E, mais il existe des formes linéaires sur E qui ne sont pas des formes linéaires sur F


Plus l'espace est petit, plus son dual est grand

[invitefb95b365]

OKKK merci beaucoup !!! je crois que je commence un peu a voir l'intérêt de s'intéresser à la notion de distribution dans ce cas là !

[invite76543456789]

Bonjour,
Ca c'est faux, si E est inclus dans F, alor le dual de E est un quotient de celui de F et pas inclus dedans justement (dans n'importe quel ordre que ce soit)
Mais dans tous les cas on ne peut pas etendre de manière canonique une forme linéaire sur l'espace des fonctions tests a celle sur L², on peut l'etendre mais de manière non canonique (c'est essentiellement le theoreme de Hahn-Banach).
Le fait est que on peut quand meme pas le faire, parce que la topologie sur l'espace des fonctions tests n'est pas induite par la norme L², sauf erreur de ma part.

[inviteea028771]

Ca c'est faux, si E est inclus dans F, alor le dual de E est un quotient de celui de F et pas inclus dedans justement (dans n'importe quel ordre que ce soit)

Inclusion est à prendre au sens de "il existe une injection 'qui va bien'", pas au sens d'inclusion ensembliste.

La nature d'une fonction de L² et d'une fonction continue à support compact est déjà différente ^^

[invite76543456789]

Justement il existe pas d'injection naturelle, ce qui est naturel c'est une surjection de E^* sur F^* (si F est inclus dans E), et c'est pas juste un détail (c'est pour ca que je me permet d'insister). Tu l'ecris d'ailleurs toi meme, si F inclus dans E, une forme linéaire sur E donne une forme linéaire sur F, l'application est donc bien de E^* dans F^*, et est surjective.
Apres bien sur, si on a une surjection de A dans B, y a toujours une injection de B dans A, mais il n'y en a pas de naturelle (et pour cause on la construit avec l'axiome du choix).

[inviteea028771]

Pourtant il y a bien une injection "naturelle" de L²'(R) dans D'(R) (le dual ici est le dual topologique) :

Soit T une forme linéaire continue sur L²(R), alors par le théorème de Riesz, il existe g dans L²(R) tel que pour tout f de L², on ai :



Et alors, on peut considérer l'application de de L²'(R) dans D'(R) définie par :



Avec


Et plus généralement, si on a F qui s'injecte de façon linéaire et continue dans E par l'application , alors si T est une forme linéaire sur E, l'application de F dans R suivante



Est une forme linéaire continue, et



Est une injection de E' dans F'

[invite76543456789]

Pourtant il y a bien une injection "naturelle" de L²'(R) dans D'(R) (le dual ici est le dual topologique) :

Soit T une forme linéaire continue sur L²(R), alors par le théorème de Riesz, il existe g dans L²(R) tel que pour tout f de L², on ai :



Et alors, on peut considérer l'application de de L²'(R) dans D'(R) définie par :



Avec

Ici tu peux construire effectivement une injection vu que L² est muni d'un produit scalaire qui le rend complet et tu utilises l'isomorphisme de L2 sur son dual pour scinder ta surjection naturelle. Ca n'est evidement pas possible dans le cas general.

Et plus généralement, si on a F qui s'injecte de façon linéaire et continue dans E par l'application , alors si T est une forme linéaire sur E, l'application de F dans R suivante



Est une forme linéaire continue, et



Est une injection de E' dans F'

Non, cette application n'est pas une injection, c'est une surjection... C'est flagrant dans le cas dans le diemension finie deja, si F est de dimension n et E de dimension m>n, comment veux tu injecter E' (qui est le dual tout court) dans F'?

Si tu veux un contre exemple précis... Prend E ce que tu veux et F un hyperplan de E, de supplementaire engendré par un vecteur a, alors la forme linéaire, nulle sur F et valant 1 sur a, s'envoie via ton application sur la forme linéaire nulle de F, alors qu'elle est bien evidement pas nulle.
par contre cette application est surjective, par le theoreme de la base incomplete (enfin sur le dual, sur le dual topologique, c'est le theoreme de Hahn Banach).

Et c'est bien ce que je disais dans mon message (et c'est important) par dualisation les injections deviennent des sujections et vice versa (donc les sous espaces deviennent apres dualisation des quotients).

[inviteea028771]

Tu as raison, dans le cas général ça n'est effectivement pas une injection : il faut avoir la densité de l'image de F par Psi dans E pour que cette dernière soit injective.

Par contre cette application n'est pas une surjection.

s'injecte naturellement dans L² (psi est alors l'identification d'une fonction à sa classe d'équivalence)

Mais le delta de Dirac (élément de D') n'a pas d'antécédent dans L²' par cette application

[invite76543456789]

Bon, je récapitule, parce que j'ai l'impression que ce que j'ai dit semble un peu confus.

Cas du dual.

Si E->F est une injection alors F^*->E^* est une surjection, ca c'est vrai dans le cas general, et c'est le theoreme de la base incomplete (donc l'axiome du choix)
En fait, pour résumer de manière laconique, la dualisation est un foncteur contravariant exact de la catégorie des espaces vectoriels dans elle meme.

Cas du dual dans les espaces normés.
C'est le meme phénomène que pour le dual. Si on a une injection continue E->F, alors on a une surjection au niveau des duaux topologiques.
F'->E', ca c'est le theoreme de Hahn Banach (et donc l'axiome du choix aussi).
La aussi on a un foncteur contravariant exact.

Ensuite. L'espace des fonctions C_infini à support compact est muni de la topologie de Frechet (c'est la topologie de la limite inductive des espaces de fonctions cinfini à support compact fixé, la limite inductive etant indexée par les compacts), l'injection de D dans L² n'est PAS continue pour cette topologie (L² étant bien sur muni de sa topologie d'espace de Hilbert), il est facile de construire des fonctions test de moyenne quadratique aussi grande que l'on veut et qui sont pour autant de sup=1.

Dans le cas general des espaces vectoriels topologiques.
la dusalisation est exacte à gauche (elle transforme les surjections en injections, ca c'est une trivialité), mais je ne sais pas si elle est exacte à droite (en fait ca revient à se demander est ce que les injections sont toujours scindables... j'ai envie de dire non).

Bon, on s'est bien eloigné du sujet initial.

[invite76543456789]

A vrai dire, je sais meme pas si le dual pour les espaces vectoriels topologiques est qqch de canoniquement défini, étant donné qu'il y plusieurs topologies naturelle sur le dual, si ma mémoire est bonne, il faudrait regarder qqch comme les espace localement convexes (pour la topologie faible sur le dual) ou qqch de ce genre

[inviteea028771]

Tu remarquera que je n'ai jamais dit que mon injection de D dans L² était continue.

On a néanmoins envie, par exemple, de pouvoir identifier "naturellement" un élément de D (qui est aussi une fonction de carré intégrable) à son pendant dans L² (sa classe d'équivalence). Que l'on perde la continuité de l'injection est beaucoup moins gênant que de perdre l'identification "naturelle"