Géométrie algébrique

[martini_bird]

Salut,

je suis en train de lire la "Géométrie Algébrique - Une introduction" de Daniel Perrin, et je bute sur une notion que je n'arrive pas trop à me représenter.

C'est à propos de la définition des espaces tangents à une variété algébrique.

A la page 105 pour celles et ceux qui disposent du livre, il y parle de "point étalon", jusque là ça va. Mais il y parle aussi de "point épaissi": c'est le spectre de l'anneau où epsilon est un idempotent. Mon souci, c'est que je n'arrive pas trop à me représenter cette objet dans le contexte. Quelqu'un ou quelqu'une aurait-il (elle) le temps et la gentillesse de m'éclairer sur cette notion ou sur ce qu'est grosso modo un shéma?

Merci d'avance.
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[invite8f53295a]

Salut !

Un schéma est une généralisation des variétés algébriques telles qu'elles sont étudiées dans le livre de Perrin. En gros les variétés affines sont complètement déterminées par leur algèbre de fonctions. Réciproquement on montre qu'une k-algèbre de type fini réduite (sans nilpotents) est l'algèbre de fonctions d'une telle variété affine.
Un schéma est justement le support géométrique pour des anneaux plus généraux pouvant posséder des nilpotents.
Dans le cas présent, le spectre de l'anneau k[epsilon] (que je note A) a deux éléments : l'idéal (X) qui est un point fermé et l'idéal (0) qui correspond à un point dense. Si on pense à A comme à une algèbre de fonctions, X est une fonctions à valeurs nulles en chaque point mais que l'on n'a cependant pas envie de considérer comme étant nulle.
Un morphisme de schémas du spectre de A dans une variété affine V (disons d'algèbre B) correspond à un morphisme f de B dans A. L'image réciproque de X correspond à l'image du point fermé (c'est un idéal maximal car noyau du morphisme naturel B-> A -> k), notons m cet idéal maximal. m représente l'ensemble des fonctions qui s'annulent en ce point (associé à m par le thm des zéros). Un élément de l'espace tangent est une dérivation de m, donc une forme qui s'annule sur les éléments nuls à l'ordre 2 en m, c'est à dire m^2, donc un élément du plan tangent correspond à un morphisme de m/m^2 dans k, comme X^2=0 dans A, on peut voir cet élément comme étant la restriction de f à m. Réciproquement on peut associer à tout point m et une application linéaire de m/m^2 dans k un morphisme de B dans A. Les morphismes de Spec(A) dans V sont donc en correspondance bijective avec les couples (point x de V, vecteur tangent en x). Les éléments de Hom(Spec(A), V) sont aussi appelés les Spec(A)-points (ou A-points) de V, au même titre que les Spec(k)-points de V correspondent à ses points fermés usuels.

Ainsi on peut considérer que le point (0) de Spec(A) représente un "nuage" de directions autour de (X).

Bon je n'ai pas tout dit, je ne sais pas en particulier si tu a la définition précise d'un schéma. Je ne sais pas si ça éclaire un peu la situation, j'apprend aussi la géométrie algébrique et ce n'est pas évident à se représenter tout ça...

[martini_bird]

Salut BS!

Merci pour ta réponse: elle complète assez bien ce que j'ai pu lire dans cet article, qui m'avait éclairé sur quelques points:
math.univ-lille1.fr/~bonnet/GDT.pdf

Je ne connais pas la notion de shéma... Enfin si, mais savoir que c'est un espace localement annelé localement isoporphe au spectre d'un anneau, ça n'avance pas à grand chose...

Pour l'instant, tout ça reste dans ma tête à l'état embryonnaire. Je crois qu'il va me falloir une longue gestation avant de me représenter "naturellement" la notion de shéma (et d'autres notions d'ailleurs).

Merci pour ton aide en tout cas!

Cordialement.