Bonjour,
On sait que < ou = est un ordre total sur Y, et on considère la relation R sur X donnée de la facon suivante:
x1 R x2 si et seulement si f(x1) < ou = f(x2)
f est une application de X -> Y
On me demande si notre relation R est un ordre total ou pas.
J'ai montré de facon assez triviale la réflexivité, l'antisymétrie, la transitivité. Mais je ne vois pas comment faire pour la linéarité. Il suffit peut-être d'utiliser le fait que < ou = est un ordre total sur Y.
Etes-vous d'accord?
salut
Une relation d'ordre R est totale sur E<=> qqsoit (x,y) appartenant à E² xRy ou yRx
Là c'est le cas f(x1) <= f(x2) ou f(x2) <= f(x1) pour tout f(x1) et f(x2) car R est totale sur Y. Tu as raison.
ciao
Salut,Envoyé par Brumaire
je ne vois pas ce que la linéarité viens faire dans tout ça! Si on dispose d'une application de X dans Y (totalement) ordonné, on dispose d'un ordre (total) sur X par cette application, c'est tout!
(Il faut le démontrer, mais c'est pas super-dur) Vraiment, je comprends pas ce que la linéarité viens faire ici!
Dans mon livre la propriété suivante,
"quelque soient x, y appartenant à M, on a x < ou = y ou y < ou = x"
est appelée linéarité
Bizarre, car cette propriété est la "totalité" de l'ordre...
Tu pourrais donner les références de ton bouquin, car ça m'intrigue!
Je viens de voir qu'il fallait montrer que R était un ordre total sur X (ensemble de départ de la fonction Y) et non pas sur Y. Je ne sais pas si je n'ai pas montré que R était un ordre total certes mais sur Y.
Exemple la réflexivité:
f(x1) < ou = f(x1)
Il s'en suit que quelque soit x1 élément de X, on a f(x1) R f(x1)
J'ai bien montré que la relation était réflexive certes mais sur X ou sur Y.
Ne doit-on pas plutôt montrer que si on a f(x1) < = f(x1), alors on a x1 < ou égal à x1?
De même pour (x1) < = f(x2) ou f(x2) < = f(x1)
On sait que < ou = est un ordre total sur Y
Donc f(x1) < = f(x2) ou f(x1) < = f (x2) et on sait que (x1)R(x2) implique que l'on ait f(x1) < = f(x2)
A partir de là, j'aurais conclu que R était un ordre total au moins sur Y. Mais comment puis-je dire que l'ordre est total sur Y?
Salut,
est un ordre total sur Y. On n'a pas d'ordre sur X, mais on dispose d'une application
En effet, si je veux comparer deux éléments x1 et x2 de X, il me suffit de comparer leurs images f(x1) et f(x2).
Toutes les propriétés de la relation
L'ordre
Or en prenant les images, comme l'ordre
Remarque:
C'est ce qu'on appelle une fonction croissante
Heu... Disons que par construction de l'ordre sur X, et une fois seulement que l'on dispose de cette ordre, on peut montrer (de manière triviale, certes) que f est croissante.Remarque:
C'est ce qu'on appelle une fonction croissante
Salut,
c'est plus par définition que f est croissante non? Elle conserve les ordres...
En fait c'est une précision juste pour "rire" mais je pense que vu sous cet angle la, ca peut aider a mieux cerner le probleme..
Salut,
lorsque f est définie, en tant que fonction de X dans Y, X ne dispose pas d'ordre, donc on ne peut pas parler de croissance. Mais ta remarque est intéressante: il est vrai que dans cette construction "canonique" d'un ordre sur X, f est croissante (d'ailleurs, on aurait pu construire sur X un ordre similaire tel que f soit décroissante).
