si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

[invitea0db811c]

Alors voila, tout le problème est dans le sujet...
Je suis en MP et notre prof nous a donné un joli exercice sur la transcendance de "e" et de "pi"... mais, si l'exercice sur "e" n'était pas trop difficile, celui sur "pi" me donne des sueurs froides... Etant donné que nous n'avons pas vu que l'ensemble des complexes algébrique était un anneau (du moins à ma connaissance), je n'arrive pas a démontrer que si z est algébrique, iz l'est... Etant donné que toute la démonstration se base sur cete première propriété, laisser un tel trou me dérange...

Pourriez vous m'éclairer ? ou au moins me donner une piste ?
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[invited749d0b6]

Bonsoir,

Soit a et b deux nombres algebriques, Q[a,b] est de dimension finie k, donc la famille 1,ab,(ab)^2,...,etc est au plus de dimension k donc ab est algebrique.

[invitea0db811c]

Q[a,b] de dimension finie k?

je ne comprend pas vraiment pourquoi.

[invited749d0b6]

Si P(a)=0 est de degre r, R(b)=0 est de degre s,
Q[a,b] est engendre comme espace vectoriel par 1,a,a^2,a^3,...,a^(r-1),b,ba,...,ba^(r-1),....,b^(s-1),....,b^(s-1)a^(r-1) donc par rs elements donc k=rs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited749d0b6]

Soit T(a,b) appartenant à Q[a,b],
T(a,b)=T_0(a)+T_1(a)b+T_2(a)b^ 2+....+T_n(a)b^n.
Par division euclidienne par P, on peut ramener tous les T_i à etre de degre plus petit que r, et par division euclidienne par R, n à etre plus petit que s.

[invitea0db811c]

...
Ouhaou... En fait je viens de comprendre qu'on pouvait se servir du polynôme P qui vérifie P(a)=0 pour se débarraser des termes où on trouve un a^n ou plus grand que degré de P... Merveilleux, voila qui je crois explique ce que tu essaye de faire rentrer dan mon petit cerveau !

Merci beaucoup !

[invited749d0b6]

Oui, c'est ca. Je dois preciser que j'ai ecrit k=rs mais c'est k<=rs.

[invited5b2473a]

Alors voila, tout le problème est dans le sujet...
Je suis en MP et notre prof nous a donné un joli exercice sur la transcendance de "e" et de "pi"... mais, si l'exercice sur "e" n'était pas trop difficile, celui sur "pi" me donne des sueurs froides... Etant donné que nous n'avons pas vu que l'ensemble des complexes algébrique était un anneau (du moins à ma connaissance), je n'arrive pas a démontrer que si z est algébrique, iz l'est... Etant donné que toute la démonstration se base sur cete première propriété, laisser un tel trou me dérange...

Pourriez vous m'éclairer ? ou au moins me donner une piste ?

Ou sinon tu peux dire que l'ensemble des nombres algébriques est un corps donc puisque i est algébrique, si z l'est alors iz aussi!!

[invite9cf21bce]

Je n'arrive pas a démontrer que si z est algébrique, iz l'est...

Pourriez vous m'éclairer ? ou au moins me donner une piste ?

Pas la peine de sortir la grosse artillerie.

Soit un polynôme non nul à coefficients rationnels qui

annule z.

Alors

D'où :



Noter que les degrés à droite et à gauche sont forcément différents (à gauche,

nul ou de degré pair ; à droite, nul ou de degré impair ; l'un des deux membres

est non nul).

En mettant au carré, tu obtiens une égalité entre les valeurs en iz de deux

polynômes à coefficients rationnels différents (car leurs degrés sont

différents). Donc iz est algébrique sur Q.

Taar.

[breukin]

Existerait-il une démonstration générale de ce style : à partir des polynomes à coefficients rationnels vérifiant P(x)=0 et Q(y)=0, construire le polynome à coefficents rationnels R vérifiant R(x+y)=0 ? Pareil pour le produit R(xy)=0 ?
Plus haut est le cas particulier du produit avec y=i.

Et puis après, avec un polynome P à coefficients algébriques, et donc avec les polynomes à coefficients rationnels dont les coefficients de P sont racines, construire un polynome à coefficients rationnels dont les racines de P sont racines => les racines d'un poynome à coefficients algébriques sont algébriques.

[invited5b2473a]

Oui mais c'est plutôt lourd.