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si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...



  1. #1
    thepasboss

    si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...


    ------

    Alors voila, tout le problème est dans le sujet...
    Je suis en MP et notre prof nous a donné un joli exercice sur la transcendance de "e" et de "pi"... mais, si l'exercice sur "e" n'était pas trop difficile, celui sur "pi" me donne des sueurs froides... Etant donné que nous n'avons pas vu que l'ensemble des complexes algébrique était un anneau (du moins à ma connaissance), je n'arrive pas a démontrer que si z est algébrique, iz l'est... Etant donné que toute la démonstration se base sur cete première propriété, laisser un tel trou me dérange...

    Pourriez vous m'éclairer ? ou au moins me donner une piste ?

    -----

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  3. #2
    G13

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Bonsoir,

    Soit a et b deux nombres algebriques, Q[a,b] est de dimension finie k, donc la famille 1,ab,(ab)^2,...,etc est au plus de dimension k donc ab est algebrique.

  4. #3
    thepasboss

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Q[a,b] de dimension finie k?

    je ne comprend pas vraiment pourquoi.

  5. #4
    G13

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Si P(a)=0 est de degre r, R(b)=0 est de degre s,
    Q[a,b] est engendre comme espace vectoriel par 1,a,a^2,a^3,...,a^(r-1),b,ba,...,ba^(r-1),....,b^(s-1),....,b^(s-1)a^(r-1) donc par rs elements donc k=rs.

  6. #5
    G13

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Soit T(a,b) appartenant à Q[a,b],
    T(a,b)=T_0(a)+T_1(a)b+T_2(a)b^ 2+....+T_n(a)b^n.
    Par division euclidienne par P, on peut ramener tous les T_i à etre de degre plus petit que r, et par division euclidienne par R, n à etre plus petit que s.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    thepasboss

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    ...
    Ouhaou... En fait je viens de comprendre qu'on pouvait se servir du polynôme P qui vérifie P(a)=0 pour se débarraser des termes où on trouve un a^n ou plus grand que degré de P... Merveilleux, voila qui je crois explique ce que tu essaye de faire rentrer dan mon petit cerveau !

    Merci beaucoup !

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  10. #7
    G13

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Oui, c'est ca. Je dois preciser que j'ai ecrit k=rs mais c'est k<=rs.

  11. #8
    indian58

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Citation Envoyé par thepasboss Voir le message
    Alors voila, tout le problème est dans le sujet...
    Je suis en MP et notre prof nous a donné un joli exercice sur la transcendance de "e" et de "pi"... mais, si l'exercice sur "e" n'était pas trop difficile, celui sur "pi" me donne des sueurs froides... Etant donné que nous n'avons pas vu que l'ensemble des complexes algébrique était un anneau (du moins à ma connaissance), je n'arrive pas a démontrer que si z est algébrique, iz l'est... Etant donné que toute la démonstration se base sur cete première propriété, laisser un tel trou me dérange...

    Pourriez vous m'éclairer ? ou au moins me donner une piste ?
    Ou sinon tu peux dire que l'ensemble des nombres algébriques est un corps donc puisque i est algébrique, si z l'est alors iz aussi!!

  12. #9
    Taar

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Citation Envoyé par thepasboss Voir le message

    Je n'arrive pas a démontrer que si z est algébrique, iz l'est...

    Pourriez vous m'éclairer ? ou au moins me donner une piste ?
    Pas la peine de sortir la grosse artillerie.

    Soit un polynôme non nul à coefficients rationnels qui

    annule z.

    Alors

    D'où :



    Noter que les degrés à droite et à gauche sont forcément différents (à gauche,

    nul ou de degré pair ; à droite, nul ou de degré impair ; l'un des deux membres

    est non nul).

    En mettant au carré, tu obtiens une égalité entre les valeurs en iz de deux

    polynômes à coefficients rationnels différents (car leurs degrés sont

    différents). Donc iz est algébrique sur Q.

    Taar.

  13. #10
    breukin

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Existerait-il une démonstration générale de ce style : à partir des polynomes à coefficients rationnels vérifiant P(x)=0 et Q(y)=0, construire le polynome à coefficents rationnels R vérifiant R(x+y)=0 ? Pareil pour le produit R(xy)=0 ?
    Plus haut est le cas particulier du produit avec y=i.

    Et puis après, avec un polynome P à coefficients algébriques, et donc avec les polynomes à coefficients rationnels dont les coefficients de P sont racines, construire un polynome à coefficients rationnels dont les racines de P sont racines => les racines d'un poynome à coefficients algébriques sont algébriques.

  14. #11
    indian58

    Re : si Z complexe est algébrique, alors (iz) est algébrique...

    Oui mais c'est plutôt lourd.

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