Diagonalisation de La transformation de Fourier

**Anonyme007** · 19/02/2018, 01h27

Bonsoir,

En parcourant le lien suivant : https://webusers.imj-prg.fr/~bernard...s/ag001_a2.pdf , j'ai pu comprendre comment on diagonalise la Transformation de Fourier $\text{[math]}$ , mais malheureusement, l'article n'aborde pas le sujet de savoir comment on trouve les sous espaces propres relativement aux valeurs propres de $\text{[math]}$ . Pouvez vous s'il vous plaît nous indiquer comment on fait pour les trouver ?

Merci infiniment.

**Anonyme007** · 20/02/2018, 00h10

Bonjour,

Je reçois la réponse d'un autre endroit, à ce sujet, comme suit :

I'm going to write $\text{[math]}$ for the Fourier transform on $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

The Plancherel theorem shows that $\text{[math]}$ . Hence $\text{[math]}$ .

So in linear-algebra terms the minimal polynomial for $\text{[math]}$ is $\text{[math]}$ ; since this has four distinct roots it follows that $\text{[math]}$ is diagonalizable, and in fact a very simple procedure for writing $\text{[math]}$ as a sum of eigenfunctions also follows:

Suppose $\text{[math]}$ . Write $\text{[math]}$ Since $\text{[math]}$ it follows that $\text{[math]}$ Similarly, if $\text{[math]}$ then $\text{[math]}$

I'll let you think about how to give similar definitions of $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ so that $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , and $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ Svp, que représente la formule suivante : $\text{[math]}$ par rapport à un cours portant sur la notion de diagonalisation ?.
$\text{[math]}$ A partir de la réponse çi dessus, est ce que la matrice de passage dans la relation de réduction de $\text{[math]}$ est : $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**slivoc** · 20/02/2018, 08h11

bonjour !

J' y connais rien du tout à la TF, mais la première égalité semble juste etre la décomposition de F en vecteurs propres ( les 4 associés aux 4 sous-espaces propres).
Pour la deuxième question , encore une fois j' y connais pas grand chose, mais tu cherches à diagonaliser la matrice d' une application sur un espace de dimension infinie ? Les matrices de passage sont de taille n², où n est la dim de l' ev; ici L2, sur C est de dimension non finie...

Bonne journée !

**stefjm** · 20/02/2018, 09h16

Bonjour,
Je m'étais déjà posé la question des vecteurs propres de la TF et MissPC m'avait donné des pistes qui ressemblent aux tiennes...

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5276767

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 20/02/2018, 12h34

Merci à vous deux slivoc et stefjm pour cet éclairage.

**Anonyme007** · 20/02/2018, 20h07

Néanmoins, je serai ravi que quelqu'un m'indique comment on obtient la matrice de passage relativement à la réduction de $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

**stefjm** · 21/02/2018, 07h29

Tu veux une matrice de passage de dimension infinie?
Sur quel espace travailles-tu?

azizovsky · 21/02/2018, 11h04

l'opérateur $\text{[math]}$ s'écrit $\text{[math]}$ , déjà on 'a discuté de ça , polynôme d'Hermite :https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_d%27Hermite
regarde du côté des équations intégraux (opérateur,Alternative,.. de Fredholm,...)

azizovsky · 21/02/2018, 11h18

Envoyé par Anonyme007

Néanmoins, je serai ravi que quelqu'un m'indique comment on obtient la matrice de passage relativement à la réduction de $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

???, une matrice $\text{[math]}$ qui intervient dans la transformation $\text{[math]}$ ,telle que la matrice obtenue soit diagonale.

**Anonyme007** · 21/02/2018, 12h21

Envoyé par stefjm

Tu veux une matrice de passage de dimension infinie?
Sur quel espace travailles-tu?

Je travaille sur l'espace : $\text{[math]}$ , alors, la matrice de passage n'est pas une matrice de taille infinie, mais une matrice par blocs de taille $\text{[math]}$ il me semble, et chaque colonne de cette matrice s'expriment en fonction de $\text{[math]}$ , c'est pourquoi la matrice de passage est de taille $\text{[math]}$ . Si chaque colonne de la matrice de passage s'exprimait en fonction des fonctions d'Hermites directement, alors là oui la matrice de passage sera infini. en fait ici, les $\text{[math]}$ sont engendré par les fonctions de Hermites.

Envoyé par azizovsky

???, une matrice $\text{[math]}$ qui intervient dans la transformation $\text{[math]}$ ,telle que la matrice obtenue soit diagonale.

Oui, c'est ça.

azizovsky · 21/02/2018, 14h05

tu 'as l'équation (x^{4}-1=0, regarde groupe de Galois (corps de décomposition) et tous ce qui marche avec ...,

azizovsky · 21/02/2018, 14h12

et aussi valeurs propres des matrices et réduction des matrices à la forme canonique..., les maths est un corps qu'on ne peut pas faire fonctionner avec l'ablation d'un de ses organes (une chaîne incassable, s'il te manque un maillon .... ).

**Anonyme007** · 21/02/2018, 15h24

Non, on n'a pas besoin de théorie de Galois pour trouver la matrice de passage de $\text{[math]}$ il me semble. Quel lien entre la transformation de Fourier et la théorie de Galois d'après toi ?

invite23cdddab · 21/02/2018, 15h56

Vu que tu ne précises pas de quelle base tu muni ton espace de départ, difficile de répondre : Ta matrice de passage dépend de la base de ton espace.

Mais bon, je trouve ta question étrange, ne serrait-ce que parce que ta matrice n'est pas à coefficients complexes (tes coefficients sont des endomorphismes).

**Anonyme007** · 21/02/2018, 16h30

Pardon Tryss2, il me semble que la matrice de passage dans la relation de réduction de $\text{[math]}$ est : $\text{[math]}$
Chaque colonne de $\text{[math]}$ représente les coordonnées de $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ , non ?
Par exemple : $\text{[math]}$ , de meme pour les autres $\text{[math]}$ qui restent, non ?

**Anonyme007** · 21/02/2018, 17h30

A mon avis :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Attention, la loi $\text{[math]}$ , est une loi de composé de deux transformations et non un produit multiplicative de deux transformations.

Est ce que cette réduction de $\text{[math]}$ de cette manière est valable ?

Merci d'avance.

invite23cdddab · 21/02/2018, 17h30

Je ne comprends absolument pas ce que tu fais ni ce que tu écris.

- Ta matrice, elle est à coefficients dans quoi?
- Les coordonnées de fi dont tu parles, c'est dans quelle base de quel espace vectoriel?
- Quand tu écris 1/4(f, Ff, F²f, F^3 f), tu as un élément de (L²)^4 : est-ce que c'est vraiment ce que tu veux?

**Anonyme007** · 21/02/2018, 18h00

Bon, je laisse ça pour ce soir ou demain, je ne suis pas assez concentré en ce moment. Je n'arrive pas à mettre en place les idées qui me trottent dans ma tête à propos de cette réduction coriace.

A ce soir.

**Anonyme007** · 21/02/2018, 20h32

Tryss2, Bonsoir à nouveau :

D'abord, c'est vrai, ce que j'ai écrit plus haut est faux, je le confirme pour se mettre d'accord toi et moi.

J'ai réfléchi après un peu et voici où j'en suis en ce moment :

$\text{[math]}$ s'exprime dans la base $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$ vecteurs propres associées aux valeurs propres : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ : polynômes d'Hermites,
Alors : $\text{[math]}$ est une base finie qui engendre $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non ?
Donc, dans la base $\text{[math]}$ , la matrice de $\text{[math]}$ est diagonale. Mais, dans une autre base, j'ignore comment je peux trouver la matrice associée $\text{[math]}$ et une matrice de passage $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ .
Quelle est alors la matrice associée à $\text{[math]}$ dans la base canonique de $\text{[math]}$ où bien sûr : $\text{[math]}$ n'est pas diagonale. Bref, on demande finalement de simplement diagonaliser $\text{[math]}$ de matrice $\text{[math]}$ et de trouver la relation de réduction : $\text{[math]}$ . Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.

**gg0** · 21/02/2018, 20h59

Tiens ! $L^2 ( \mathbb{R} )$ est de dimension 4 ? Sur quel corps ? Comment se décompose x+exp(-x²)-1/(x²+1)+exp(-x^4) -1/(x^4+1) (5 fonctions linéairement indépendantes) sur cette base ?

**Anonyme007** · 21/02/2018, 21h21

D'accord, alors, merci. Je vois maintenant où se trouve l'erreur que je commets. Merci.

**gg0** · 22/02/2018, 09h19

C'est vrai que pour traiter ce genre de questions, il est mieux de connaître les bases de l'algèbre linéaire. On ne peut pas vouloir traverser la Manche à la nage si on ne sait pas nager.

invite23cdddab · 22/02/2018, 10h18

Envoyé par gg0

C'est vrai que pour traiter ce genre de questions, il est mieux de connaître les bases de l'algèbre linéaire. On ne peut pas vouloir traverser la Manche à la nage si on ne sait pas nager.

Objection votre honneur !

On peut le vouloir, mais si on essaye, ça ne serra pas très concluant

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