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F et G fermés mais F+ G non fermé




  1. #1
    jackgre

    F et G fermés mais F+ G non fermé

    Bonjour, voici mon problème:
    Soit (E,N) un EVN
    F un fermé de E
    G un sev de E de dimension finie,

    Je dois montré que F+G n'est pas un fermé. (L'énoncé semble invité a chercher un contre exemple)

    Mais je n'arrive pas a trouver de contre exemple. J'ai chercher dans l'espace des fonctions continues mais je ne vois pas du tout.
    Des idées ?
    Merci

    -----


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  3. #2
    Tryss2

    Re : F et G fermés mais F+ G non fermé

    Le point clé, c'est qu'il faut que F ne soit pas compact (car la somme d'un compact et d'un fermé est fermée)

    Un exemple classique, c'est , et

    Les éléments de F+G sont de la forme , donc qui n'est pas fermé (au passage, on peut aussi remarquer que c'est un ouvert)

  4. #3
    jackgre

    Re : F et G fermés mais F+ G non fermé

    etes vous sur que F+G = R²\ {(0,0)} dans ce cas ?
    car tout element de la forme (a,0) n'est pas dans F+G


  5. #4
    jackgre

    Re : F et G fermés mais F+ G non fermé

    j'ai compris mon erreur, merci

  6. #5
    Tryss2

    Re : F et G fermés mais F+ G non fermé

    Non, tu as raison, j'ai écrit une bêtise, Il s'agit effectivement de . Mais c'est bien non fermé (et aussi ouvert)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    sleinininono

    Re : F et G fermés mais F+ G non fermé

    excusez moi, je ne comprends pas comment on peut alors dire que F + G est égale à l'ensemble que vous mentionnez. Pourriez vous rajoutez quelques étapes svp ?

  9. #7
    God's Breath

    Re : F et G fermés mais F+ G non fermé

    Bonjour,

    car :

    1. Les éléments de sont en effet de la forme , avec non nul, donc n'appartiennent pas à .

    2. Réciproquement, si est élément de , est non nul donc : , et appartient à .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  11. #8
    sleinininono

    Re : F et G fermés mais F+ G non fermé

    ah oui merci beaucoup

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