F et G fermés mais F+ G non fermé

[invite03ef28af]

Bonjour, voici mon problème:
Soit (E,N) un EVN
F un fermé de E
G un sev de E de dimension finie,

Je dois montré que F+G n'est pas un fermé. (L'énoncé semble invité a chercher un contre exemple)

Mais je n'arrive pas a trouver de contre exemple. J'ai chercher dans l'espace des fonctions continues mais je ne vois pas du tout.
Des idées ?
Merci
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[Tryss2]

Le point clé, c'est qu'il faut que F ne soit pas compact (car la somme d'un compact et d'un fermé est fermée)

Un exemple classique, c'est , et

Les éléments de F+G sont de la forme , donc qui n'est pas fermé (au passage, on peut aussi remarquer que c'est un ouvert)

[invite03ef28af]

etes vous sur que F+G = R²\ {(0,0)} dans ce cas ?
car tout element de la forme (a,0) n'est pas dans F+G

[invite03ef28af]

j'ai compris mon erreur, merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Non, tu as raison, j'ai écrit une bêtise, Il s'agit effectivement de . Mais c'est bien non fermé (et aussi ouvert)

[sleinininono]

excusez moi, je ne comprends pas comment on peut alors dire que F + G est égale à l'ensemble que vous mentionnez. Pourriez vous rajoutez quelques étapes svp ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

car :

1. Les éléments de sont en effet de la forme , avec non nul, donc n'appartiennent pas à .

2. Réciproquement, si est élément de , est non nul donc : , et appartient à .

[sleinininono]

ah oui merci beaucoup