"Théorème des zéros de Hilbert"

[GuYem]

Bonsoir

Il est bien beau ce théorème, mais il doit surement y avoir une raison pour qu'il s'appelle "théorème des zéros".
Je parie qu'il y a quelqu'un ici capable de l'expliquer avec des mots relativement simples.
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[invite8b04eba7]

Salut !

Sous sa forme faible, le théorème dit que pour tout idéal propre I de k[X₁,...,X_n] (k algébriquement clos), il existe des points x de kⁿ sur lequels tous les éléments de I s'annulent.
Autrement dit, tout ensemble de polynômes qui n'engendre pas k[X₁,...,X_n] admet un zéro commun.

Grâce à ce résultat on obtient une bijection entre les idéaux maximaux de k[X₁,...,X_n] et les points de kⁿ : c'est le premier pas vers la géométrie algébrique.

Si on note V(I) l'ensemble zéros communs de I, alors la version plus forte dit que l'idéal des fonctions s'annulant sur V(I) est , c'est-à-dire l'ensemble des polynômes dont une puissance non nulle appartient à I. On ne peut espérer mieux (par exemple un polynôme s'annule partout où s'annule son carré).

[GuYem]

Ahah voilà une explication convaincante. Seulement je dois avouer que je ne connais pas les deux versions de ce théorème dont tu parles !

Pour moi LE théorème des zéros de Hilbert donne les seules formes possible que peuvent prendre les idéaux premiers de K[X,Y].

Ma question devient donc : quel est le lien entre ce théorème et ceux dont tu parles ?

[invite8b04eba7]

Tu es sûr que c'est avec les idéaux premiers ? En général c'est plutôt les idéaux maximaux dont on connait la structure.

Peux-tu énoncer le théorème sous la forme que tu connais ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Of course je peux :

Si k est algébriquement clos alors les idéaux premiers de K[X,Y] sont d'un des trois types suivants :

-L'idéal nul
-Un idéal du type (F) où F est un polynôme irréductible
-Un idéal maximal du type M = (X-a,Y-b)

En espérant ne pas dire des bétises.

[invite8b04eba7]

Ok.

Voyons comment déduire ça du premier théorème...

Si I est un idéal maximal, alors il existe un point en lequel tous les éléments de I s'annulent (je note (a,b) ce point). D'autre part, on dispose d'un morphisme d'anneau de k[X,Y] vers k consistant en l'évaluation en ce point. Le noyau J de ce morphisme est un idéal maximal qui contient strictement I, donc qui vaut I et il n'est pas dur de voir que J=(X-a,Y-b).

Pour finir, montrons qu'un idéal premier P non principal est maximal : un tel idéal contient deux polynômes irréductibles distincts U et V. Je peux effectuer la division euclidienne de U par V dans k(X)[Y] ce qui me donne U = VQ + R, avec R de degré en Y strictement plus petit que celui de Q. En multipliant les deux membres par un bon polynôme en X, je peux tout ramener dans k[X,Y] :

Mézalors FR = FU-FVQ est un élément de P de degré en Y strictement plus petit que celui de V. En itérant le procédé, on obtient un élément de P qui est dans K[X]. Et là, par primalité de P, un des facteurs irréductibles (c'est-à-dire un X-a) est dans P. En faisant de même dans K(Y)[X], on trouve un Y-b qui appartient à P et le tour est joué.

Le truc c'est que ça ne marche sûrement que pour deux variables... Ce qu'il faut retenir du premier théorème des zéros de Hilbert, c'est que l'on a une bijection entre les points de K^n et les idéaux maximaux de K[X_1,...X_n] donnée par

ou mieux (plus intrinsèque) :

C'est pour cela que lorsque l'on fait de la géométrie algébrique, on considére pour une algèbre de type finie A (ici k[X_1,\ldots,X_n]) l'ensemble de ces idéaux premiers Spec(A). Les éléments maximaux de cet ensemble (i.e. les idéaux maximaux Specm(A) de A) sont les points la variété associée à A (ici k^n).

Voilà, j'espère que ça t'a éclairée sur le sujet !

[GuYem]

Ca me plait bien, ce que j'appelle le theoreme des zros serait donc une conséquence de ce que tu appelles "le premier théorème des zéros".
Je vais méditer ta démonstration, il me semble que ça ressemble fortement à celle que j'ai vue dans le livre que je regarde (Goblot, algèbre commutative).

Merci beaucoup

[invite8b04eba7]

C'est même une équivalence, puisqu'avec ton théorème, un idéal propre a toujours un zéro commun à tous ces éléments (car cet idéal est inclus dans un idéal maximal pour lequel c'est vrai). Je maintiens que le renseignement du théorème (quel qu'il soit) se fait principalement sur les idéaux maximaux, mais il se trouve qu'en dimension 2 (et 1) on a aussi une caractérisation des idéaux premiers.

Dans la littérature, tu trouveras aussi les deux théorèmes que j'ai énoncé sous le nom de Nullstellensatz (faible et fort).