sin(z)=2
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sin(z)=2



  1. #1
    Physs98

    sin(z)=2


    ------

    Bonsoir,

    j'ai du mal à résoudre dans C l'équation sin(z)=2

    J'ai tout d'abord réécris l'équation comme : exp(iz)-exp(-iz)=4i, mais je ne parviens pas à isoler z.

    Si vous pouvez me donner un indice je suis preneur, merci !

    -----

  2. #2
    JB2017

    Re : sin(z)=2

    Bjr
    Tu poses z=x+iy, x et y dans R
    sin(x+i y)=sin(x) cosh(y)+ i cos(x) sinh(y)
    Donc l'équation devient
    sin(x) cosh(y)=2 (1)
    cos(x) sinh(y)=0 (2)

    Tu commences par (2).

    Premier cas sinh(y)=0 dc y =0.......

    C'est facile à finir

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : sin(z)=2

    Bonjour.

    Face à cet énoncé, j'aurais envie de continuer en posant z=a+ib, puis en développant les exponentielles avec la forme trigonométrique, pour identifier ensuite les parties réelles et les partie imaginaires.

    Cordialement.

    édit : C'est proche de ce que propose JB2017 au message #2

  4. #4
    Physs98

    Re : sin(z)=2

    En utilisant la méthode de JB2017, je trouve que x = (pi/2 + k*pi) (k pair) et y = ln(2+√3)

    Selon le corrigé, c'est OK pour le x, mais pour le y je suis censé trouver y = ln(2±√3)

    D'autre part cette méthode me semble un peu tirée par les cheveux, n'y a-t-il pas une méthode plus directe ?

    Merci encore pour votre aide

    edit: je n'aurai jamais réussi sans m'aider de l'aide mémoire en trigo, notamment pour arcosh(x) = ln(x+√x²+1)
    Dernière modification par Physs98 ; 28/10/2018 à 18h38.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Physs98

    Re : sin(z)=2

    Trompé, je suis censé trouver y = -ln(2±√3)

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : sin(z)=2

    Bizarre, je trouve 4 solutions pour y.
    Mais comme on n'a pas tes calculs ...

  8. #7
    Physs98

    Re : sin(z)=2

    Voici en gros ce que j'ai fait :

    sin(x) cosh(y)=2 (1)
    cos(x) sinh(y)=0 (2)

    1) je part de l'équation (2) : en supposant sinh(y)=0 , je trouve y=0 => sin(x) = 2 , impossible
    2) je part de l'équation (2) : en supposant cos(x)=0 , je trouve x = pi(k+1/2)
    3) j'injecte x dans l'équation (1) et je trouve cosh(y) = 2*(-1)^k
    4) Or cosh(y) > 0 => k est forcément pair et cosh(y) = 2 => y = ln(2+√3)

  9. #8
    JB2017

    Re : sin(z)=2

    Rebonjour
    Je ne vois pas pourquoi la méthode est tirée par les cheveux. En effet elle est fluide, pas compliquée et logique.
    Il n'y rien de plus fréquent que dire que deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
    Maintenant les fonctions hyperboliques s'expriment avec les fonctions exponentielles et vice versa comme par ailleurs les fonction réciproques.
    Privilégier une écriture ou une autre c'est un choix ou alors ça dépend de ce qu'on veut faire.
    Perso je trouve + pratique d'utiliser de sinus sans les complexes car développer sin(a+ b) est une des formules les plus connues.
    A la fin trouver n'empêche pas de le mettre sous la forme d'un log mais ça dépend du contexte. Sinon je vois pas l'intérêt.

    Je viens de voir ton message
    Attention
    Dernière modification par JB2017 ; 28/10/2018 à 19h22.

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : sin(z)=2

    Effectivement,

    j'avais des solutions parasites
    Par contre à la fin, il doit y avoir une erreur. La fonction ch est paire, elle prend à deux occasions la valeur 2.

    Cordialement.

  11. #10
    Physs98

    Re : sin(z)=2

    Ah ok merci ! et pour le ± dans ln(2±√3), c'est une erreur dans la solution ? Il y a donc 2 solutions au lieu de 4 ?

  12. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : sin(z)=2

    Non, bien 4,
    avec des +/- à l'ext et l'int du log.
    Dernière modification par ansset ; 28/10/2018 à 20h01.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : sin(z)=2

    En fait, il n'y a que 2 solutions :

    Donc on peut mettre le soit devant le ln, soit devant la racine carrée, ça revient au même. Ou aux deux endroits, mais ça ne sert à rien.

    Cordialement.

  14. #13
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : sin(z)=2

    Tu as raison , elle sont redondantes en fait.
    Dernière modification par ansset ; 28/10/2018 à 20h19.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #14
    Physs98

    Re : sin(z)=2

    Très bien, merci beaucoup pour votre aide !

  16. #15
    SULREN

    Re : sin(z)=2

    Bonjour,

    Tu as raison , elle sont redondantes en fait.
    Juste pour rire (maintenant que la discussion sérieuse est terminée) :

    Ma petite méthode numérique de résolution, « bourrine », homemade, n’a aussi trouvé que deux solutions (sous forme de nombres bien sûr, pas d’expression), mais après m’avoir fait une grande frayeur.

    Elle trouvait en effet deux valeurs de x et pour chacune elle donnait les deux valeurs symétriques de y, donc en apparence 4 solutions.

    x1 = 1,570795 avec y = +/- 1,316958
    x2= -4,712385 avec y = +/- 1,316958

    J’avais fait l’erreur, grossière, de laisser x aller dans le négatif et l’algorithme est donc allé me trouver la valeur x= pi/2 en prenant le cercle dans le sens inverse du sens trigonométrique.

    Conclusion : ce cas simpliste rappelle qu’il faut toujours réfléchir avant de lancer une méthode numérique de résolution.

  17. #16
    eudea-panjclinne

    Re : sin(z)=2

    Pour le Fun ou pour rire (@Sulren)...
    On aurait pu remarquer que l'équation : exp(iz)-exp(-iz)=4i
    se ramène à une équation du second degré, simple à résoudre après avoir posé, Z=exp(iz).
    Ce qui simplifie quelque peu la résolution du problème...

  18. #17
    stefjm

    Re : sin(z)=2

    On peut aussi le faire avec le log complexe, mais attention à l'indétermination :
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».