sin(z)=2

[invite81335e41]

Bonsoir,

j'ai du mal à résoudre dans C l'équation sin(z)=2

J'ai tout d'abord réécris l'équation comme : exp(iz)-exp(-iz)=4i, mais je ne parviens pas à isoler z.

Si vous pouvez me donner un indice je suis preneur, merci !
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[invite6710ed20]

Bjr
Tu poses z=x+iy, x et y dans R
sin(x+i y)=sin(x) cosh(y)+ i cos(x) sinh(y)
Donc l'équation devient
sin(x) cosh(y)=2 (1)
cos(x) sinh(y)=0 (2)

Tu commences par (2).

Premier cas sinh(y)=0 dc y =0.......

C'est facile à finir

[gg0]

Bonjour.

Face à cet énoncé, j'aurais envie de continuer en posant z=a+ib, puis en développant les exponentielles avec la forme trigonométrique, pour identifier ensuite les parties réelles et les partie imaginaires.

Cordialement.

édit : C'est proche de ce que propose JB2017 au message #2

[invite81335e41]

En utilisant la méthode de JB2017, je trouve que x = (pi/2 + k*pi) (k pair) et y = ln(2+√3)

Selon le corrigé, c'est OK pour le x, mais pour le y je suis censé trouver y = ln(2±√3)

D'autre part cette méthode me semble un peu tirée par les cheveux, n'y a-t-il pas une méthode plus directe ?

Merci encore pour votre aide

edit: je n'aurai jamais réussi sans m'aider de l'aide mémoire en trigo, notamment pour arcosh(x) = ln(x+√x²+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite81335e41]

Trompé, je suis censé trouver y = -ln(2±√3)

[gg0]

Bizarre, je trouve 4 solutions pour y.
Mais comme on n'a pas tes calculs ...

[invite81335e41]

Voici en gros ce que j'ai fait :

sin(x) cosh(y)=2 (1)
cos(x) sinh(y)=0 (2)

1) je part de l'équation (2) : en supposant sinh(y)=0 , je trouve y=0 => sin(x) = 2 , impossible
2) je part de l'équation (2) : en supposant cos(x)=0 , je trouve x = pi(k+1/2)
3) j'injecte x dans l'équation (1) et je trouve cosh(y) = 2*(-1)^k
4) Or cosh(y) > 0 => k est forcément pair et cosh(y) = 2 => y = ln(2+√3)

[invite6710ed20]

Rebonjour
Je ne vois pas pourquoi la méthode est tirée par les cheveux. En effet elle est fluide, pas compliquée et logique.
Il n'y rien de plus fréquent que dire que deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Maintenant les fonctions hyperboliques s'expriment avec les fonctions exponentielles et vice versa comme par ailleurs les fonction réciproques.
Privilégier une écriture ou une autre c'est un choix ou alors ça dépend de ce qu'on veut faire.
Perso je trouve + pratique d'utiliser de sinus sans les complexes car développer sin(a+ b) est une des formules les plus connues.
A la fin trouver n'empêche pas de le mettre sous la forme d'un log mais ça dépend du contexte. Sinon je vois pas l'intérêt.

Je viens de voir ton message
Attention

[gg0]

Effectivement,

j'avais des solutions parasites
Par contre à la fin, il doit y avoir une erreur. La fonction ch est paire, elle prend à deux occasions la valeur 2.

Cordialement.

[invite81335e41]

Ah ok merci ! et pour le ± dans ln(2±√3), c'est une erreur dans la solution ? Il y a donc 2 solutions au lieu de 4 ?

[invite51d17075]

Non, bien 4,
avec des +/- à l'ext et l'int du log.

[gg0]

En fait, il n'y a que 2 solutions :

Donc on peut mettre le soit devant le ln, soit devant la racine carrée, ça revient au même. Ou aux deux endroits, mais ça ne sert à rien.

Cordialement.

[invite51d17075]

Tu as raison , elle sont redondantes en fait.

[invite81335e41]

Très bien, merci beaucoup pour votre aide !

[SULREN]

Bonjour,

Tu as raison , elle sont redondantes en fait.

Juste pour rire (maintenant que la discussion sérieuse est terminée) :

Ma petite méthode numérique de résolution, « bourrine », homemade, n’a aussi trouvé que deux solutions (sous forme de nombres bien sûr, pas d’expression), mais après m’avoir fait une grande frayeur.

Elle trouvait en effet deux valeurs de x et pour chacune elle donnait les deux valeurs symétriques de y, donc en apparence 4 solutions.

x1 = 1,570795 avec y = +/- 1,316958
x2= -4,712385 avec y = +/- 1,316958

J’avais fait l’erreur, grossière, de laisser x aller dans le négatif et l’algorithme est donc allé me trouver la valeur x= pi/2 en prenant le cercle dans le sens inverse du sens trigonométrique.

Conclusion : ce cas simpliste rappelle qu’il faut toujours réfléchir avant de lancer une méthode numérique de résolution.

[invitedd63ac7a]

Pour le Fun ou pour rire (@Sulren)...
On aurait pu remarquer que l'équation : exp(iz)-exp(-iz)=4i
se ramène à une équation du second degré, simple à résoudre après avoir posé, Z=exp(iz).
Ce qui simplifie quelque peu la résolution du problème...

[stefjm]

On peut aussi le faire avec le log complexe, mais attention à l'indétermination :